unu ecuație polinomială se caracterizează prin a avea o polinom egal cu zero. Poate fi caracterizat prin gradul polinomului și, cu cât acest grad este mai mare, cu atât este mai mare gradul de dificultate în găsirea soluției sau rădăcinii sale.
De asemenea, este important, în acest context, să înțelegem care este teorema fundamentală a algebrei, care afirmă că fiecare ecuație polinomială are cel puțin o soluție complexă, cu alte cuvinte: o ecuație de gradul unu va avea cel puțin o soluție, o ecuație de gradul doi va avea cel puțin două soluții și așa mai departe.
Citește și tu: Care sunt clasele de polinoame?
Ce este o ecuație polinomială
O ecuație polinomială se caracterizează prin faptul că are un polinom egal cu zero, astfel, fiecare expresie de tip P (x) = 0 este o ecuație polinomială, unde P (x) este un polinom. Vezi mai jos cazul general al unei ecuații polinomiale și câteva exemple.
ConsideraNu, An -1, A n -2,..., The1, A0 și x numere reale, iar n este un număr întreg pozitiv, următoarea expresie este o ecuație polinomială de grad n.
- Exemplu
Următoarele ecuații sunt polinoame.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
La fel ca polinoamele, ecuațiile polinomiale au gradul lor. Pentru a determina gradul unei ecuații polinomiale, trebuie doar să găsiți cea mai mare putere al cărei coeficient este diferit de zero. Prin urmare, ecuațiile articolelor precedente sunt, respectiv:
a) Ecuația este din gradul al patrulea:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ecuația este din liceu:5X2 – 3 = 0.
c) Ecuația este din primul grad:6X – 1 = 0.
d) Ecuația este din gradul III: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
Cum se rezolvă o ecuație polinomială?
Metoda de rezolvare a unei ecuații polinomiale depinde de gradul acesteia. Cu cât este mai mare gradul unei ecuații, cu atât este mai dificil să o rezolvi. În acest articol, vom arăta metoda de rezolvare pentru ecuațiile polinomiale ale gradul I, gradul II și bisquare.
Ecuația polinomială de gradul I
O ecuație polinomială de gradul I este descrisă de a polinomul de gradul 1. Deci putem scrie o ecuație de gradul I, în general, după cum urmează.
Luați în considerare două numere reale și B cu un ≠ 0, următoarea expresie este o ecuație polinomială de gradul I:
ax + b = 0
Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să folosim principiul echivalenței, adică tot ceea ce este operat pe o parte a egalității trebuie să fie operat și pe cealaltă parte. Pentru a determina soluția unei ecuații de gradul I, trebuie izolează necunoscutul. Pentru aceasta, primul pas este eliminarea B în partea stângă a egalității și apoi scădeavâsle b de ambele părți ale egalității.
topor + b - B = 0 - B
topor = - b
Rețineți că valoarea necunoscutului x nu este izolată, coeficientul a trebuie eliminat din partea stângă a egalității și, pentru aceasta, să împărțim ambele părți la .
- Exemplu
Rezolvați ecuația 5x + 25 = 0.
Pentru a rezolva problema, trebuie să folosim principiul echivalenței. Pentru a facilita procesul, vom omite scrierea operațiunii din partea stângă a egalității, fiind echivalent atunci să spunem că vom „trece” numărul către cealaltă parte, schimbând semnul (operație inversă).
Aflați mai multe despre rezolvarea acestui tip de ecuație accesând textul nostru: Ecuația de gradul I cu o necunoscută.
Ecuația polinomială de gradul II
O ecuație polinomială de gradul II are caracteristica a gradul doi polinom. Deci, ia în considerare a, b și c numere reale cu a ≠ 0. O ecuație de gradul doi este dată de:
topor2 + bx + c = 0
Soluția dvs. poate fi determinată folosind metoda bhaskara sau prin factorizare. Dacă doriți să aflați mai multe despre ecuațiile de acest tip, citiți: Eqacțiunea de sal doilea grau.
→ Metoda Bhaskara
Folosind metoda lui Bhaskara, rădăcinile sale sunt date de următoarea formulă:
- Exemplu
Determinați soluția ecuației x2 - 3x + 2 = 0.
Rețineți că coeficienții ecuației sunt, respectiv, a = 1, b = - 3 și c = 2. Înlocuind aceste valori în formulă, trebuie să:
→ Factorizarea
Rețineți că este posibil să luați în calcul expresia x2 - 3x + 2 = 0 folosind ideea de factorizarea polinomială.
X2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Observați acum că avem un produs egal cu zero și un produs este egal cu zero numai dacă unul dintre factori este egal cu zero, deci trebuie să:
x - 2 = 0
x = 2
sau
x - 1 = 0
x = 1
Vedeți că am găsit soluția la ecuație folosind două metode diferite.
ecuația bi-pătrat
THE ecuația bisquare este un caz particular al unei ecuații polinomiale de gradul al patrulea, în mod normal, o ecuație de gradul patru ar fi scrisă sub forma:
topor4 + bx3 + cutie2 + dx + e = 0
unde numerele a B C D și și sunt reale cu un ≠ 0. O ecuație de gradul al patrulea este considerată bisquare atunci când coeficienții b = d = 0, adică ecuația este sub forma:
topor4 + cutie2 + și = 0
Vedeți, în exemplul de mai jos, cum să rezolvați această ecuație.
- Exemplu
Rezolvați ecuația x4 - 10x2 + 9 = 0.
Pentru a rezolva ecuația, vom folosi următoarea modificare necunoscută și, ori de câte ori ecuația este bisquare, vom face acea modificare.
X2 = p
Din ecuația bi-pătrat, rețineți că x4 = (x2)2 și, prin urmare, trebuie să:
X4 - 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Vedeți că acum avem o ecuație polinomială de gradul al doilea și putem folosi metoda lui Bhaskara, astfel:
Cu toate acestea, trebuie să ne amintim că, la începutul exercițiului, a fost făcută o modificare necunoscută, deci trebuie să aplicăm valoarea găsită în substituție.
X2 = p
Pentru p = 9 trebuie:
X2 = 9
x ’= 3
sau
x ’’ = - 3
Pentru p = 1
X2 = 1
x ’= 1
sau
x ’’ = - 1
Prin urmare, setul de soluții al ecuației bisquare este:
S = {3, –3, 1, –1}
Citește și: Dispozitivul practic al lui Briot-Ruffini - divizarea polinoamelor
Teorema fundamentală a algebrei (TFA)
Teorema fundamentală a algebrei (TFA), demonstrată de Gauss în 1799, afirmă că fiecare ecuație polinomială după cum urmează are cel puțin o rădăcină complexă.
Rădăcina unei ecuații polinomiale este soluția sa, adică valoarea necunoscută este ceea ce face ca egalitatea să fie adevărată. De exemplu, o ecuație de gradul întâi are o rădăcină deja determinată, la fel ca o ecuație de gradul doi, care are cel puțin două rădăcini, și o biscuară, care are cel puțin patru rădăcini.
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Determinați valoarea lui x care face ca egalitatea să fie adevărată.
2x - 8 = 3x + 7
Rezoluţie
Rețineți că pentru a rezolva ecuația, este necesar să o organizați, adică să lăsați toate necunoscutele pe partea stângă a egalității.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Prin principiul echivalenței, putem înmulți ambele părți ale egalității cu același număr și, din moment ce dorim să aflăm valoarea lui x, vom înmulți ambele părți cu –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
intrebarea 2 - Marcos are cu 20 de dolari mai mult decât João. Împreună, reușesc să cumpere două perechi de adidași, costând 80 de dolari fiecare pereche și fără bani. Câți reali are John?
Rezoluţie
Să presupunem că Mark are x reali, așa cum Ioan are 20 de reali mai mult, deci are x + 20.
Mărci → x reali
João → (x + 20) reais
cum au cumpărat două perechi de adidași care costă 80 de reali fiecare, deci dacă punem părțile fiecăruia împreună, va trebui să:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Prin urmare, Mark avea 70 de reali, iar João, 90 de reali.
de Robson Luiz
Profesor de matematică
