Suma unghiurilor interne și externe ale unui poligon convex

Tu poligoane convexe sunt cele care nu au concavitate. Pentru a vedea dacă un poligon este sau nu convex, trebuie să observăm că orice segment de linie dreaptă cu capete în figură nu trece prin regiunea exterioară.

În poligoanele convexe, există formule care vă permit să determinați suma unghiurilor interne și externe. Verifică!

Suma unghiurilor interne ale unui poligon convex

Formula lui suma unghiurilor interne ale unui poligon convex cu n laturi este:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstrație:

Dacă ne uităm, vom vedea că fiecare poligon convex poate fi împărțit într-un anumit număr de triunghiuri. Vezi câteva exemple:

Deci, amintindu-mi că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este întotdeauna egal cu 180 °, putem vedea că suma unghiurilor interne din aceste figuri de mai sus va fi dată de numărul de triunghiuri în care figura ar putea fi împărțită la 180 °:

patrulater: 2 triunghiuri ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 triunghiuri ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Hexagon: 4 triunghiuri ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Deci, pentru a obține o formulă pentru calcularea sumei unghiurilor interioare ale unui poligon convex, trebuie doar să știm, în general, în câte triunghiuri poate fi împărțit un poligon convex.

instagram story viewer

Dacă observăm, există o relație între această cantitate și numărul de laturi ale figurilor. Numărul de triunghiuri este egal cu numărul laturilor figurii minus 2, adică:

$\ dpi {120} \ mathrm {Total \, of \, tri \ hat {a} unghiuri = n - 2}$

Cadrilater: 4 laturi ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 laturi ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Hexagon: 6 laturi ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Deci, în general, suma unghiurilor interne ale unui poligon convex este dată de: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Care este formula pe care am vrut să o demonstrăm.

Exemplu:

Găsiți suma unghiurilor interioare ale unui icosagon convex.

Un icosagon este un poligon cu 20 de fețe, adică n = 20. Să înlocuim această valoare în formula:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Prin urmare, suma unghiurilor interne ale unui icosagon convex este egală cu 3240 °.

Suma unghiurilor exterioare ale unui poligon

THE suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex este întotdeauna egal cu 360 °, adică:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstrație:

Consultați câteva cursuri gratuite

Curs online gratuit de educație incluzivă
Ludoteca online gratuită și curs de învățare
Curs gratuit de jocuri online de matematică în educația timpurie
Curs online gratuit de ateliere culturale pedagogice

Vom demonstra cu exemple că suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex nu depinde de numărul de laturi ale figurii și este întotdeauna egală cu 360 °.

Patrulater:

patrulater Rețineți că fiecare unghi interior formează un unghi de 180 ° cu unghiul exterior. Deci, deoarece există patru vârfuri, suma tuturor unghiurilor este dată de 4. 180° = 720°.

Adică: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Curând:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

O singura data $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , atunci:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

În pentagon, avem 5 vârfuri, deci suma tuturor unghiurilor este dată de 5. 180° = 900°. Curând: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Atunci: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . O singura data $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , atunci: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Hexagon:

În hexagon, avem 6 vârfuri, deci suma tuturor unghiurilor este dată de 6. 180° = 1080°. Curând: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Atunci: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . O singura data $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , atunci: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

După cum puteți vedea, în toate cele trei exemple, suma unghiurilor exterioare, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , a rezultat la 360 °.

Exemplu:

Suma unghiurilor interioare și exterioare ale unui poligon este egală cu 1800 °. Ce este acest poligon?

Avem: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Știind asta în orice poligon $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , atunci noi avem: