Studiul despre seturi numerice constituie unul dintre principalele domenii ale matematicii, deoarece acestea sunt foarte importante pentru dezvoltarea teoretică a zonei și au mai multe aplicații practice. Seturile numerice cuprind în studierea:
- numere naturale;
- numere întregi;
- numere rationale;
- numere irationale;
- numere reale; și
- numere complexe.
Citeste mai mult: Numere prime - numere care au doar 1 și ele însele ca divizori
Set de numere naturale
Dezvoltarea primelor civilizații a adus cu sine îmbunătățirea agriculturii și a comerțului și, în consecință, a folosind cifre pentru a reprezenta cantități. Primul set a venit de la sine, de unde și numele său. Setul natural numit este folosit pentru a reprezenta cantități, este notat cu simbolul ℕ și este scris în formă de ordine. Uite:
O set de numere naturaeste é infinit și închis pentru operațiuni de plus și multiplicare, adică ori de câte ori adăugăm sau înmulțim două numere naturale, răspunsul este totuși natural. Cu toate acestea, pentru operația de scădere și Divizia, setul nu este închis. Uite:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Rețineți că numerele –1 și 0,5 nu aparțin setului de naturale și aceasta este justificarea pentru crearea și studiul unor noi seturi de numere.
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
De asemenea, plasând un asterisc (*) în simbolul setului natural, trebuie să eliminăm numărul din listă, vezi:
numere întregi setate
Numărul întreg setat a venit cu trebuie să efectueze operațiunea de scădere fara restrictii. După cum am văzut, atunci când se scade un număr mai mic dintr-un număr mai mare, răspunsul nu aparține grupului de naturali.
Setul de numere întregi este, de asemenea, reprezentat printr-o secvență numerică infinită și este notat prin simbolul ℤ.
La fel ca în setul de numere naturale, prin plasarea unui asterisc în simbolul element, elementul zero este eliminat din set, astfel:
Simbolul (-) care însoțește un număr indică faptul că este simetric, deci simetricul numărului 4 este numărul –4. De asemenea, rețineți că mulțimea numerelor naturale este conținută în mulțimea numerelor întregi, adică mulțimea numerelor naturale este un subset al mulțimii numerelor întregi.
ℕ ⸦ ℤ
Citește și: Operații cu numere întregi - ce sunt acestea și cum se calculează?
set de numere raționale
O set de numere raționale é reprezentat de simbolul ℚ și nu este reprezentat de o succesiune numerică. Acest set este alcătuit din toate numerele care pot fi reprezentate ca o fracțiune. Reprezentăm elementele sale după cum urmează:
Știm că fiecare număr întreg poate fi reprezentat de un fracțiune, adică mulțimea numerelor întregi este conținută în cea a numerelor raționale, deci, mulțimea numerelor întregi este un subset al raționalelor.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Numere care au reprezentare infinită, cum ar fi zecimi periodice, au, de asemenea, reprezentare sub forma unei fracții, deci sunt și raționale.
Citește și: Operații cu fracții - pas cu pas cum să le rezolvați
Set de numere iraționale
După cum am văzut, un număr este rațional dacă poate fi scris ca o fracție. De asemenea, s-a spus că numerele infinite și periodice sunt raționale, cu toate acestea, există unele numere care nu poate fi scris sub forma unei fracții și care, prin urmare, nu aparțin mulțimii numerelor raționale.
Aceste numere nerationale se numesc iraţional iar principalele sale caracteristici sunt infinitul părții zecimale și non-frecvență, adică nu se repetă niciun număr din partea zecimală. Vezi câteva exemple de numere irationale.
- Exemplul 1
Rădăcinile pătrate ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte.
- Exemplul 2
Constantele provenind din motive speciale, cum ar fi numărul de aur, numărul Euler sau Pi.
Set de numere reale
O set de numere reale este reprezentat de simbolul ℝ și este format de unitatea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale. Amintiți-vă că mulțimea raționalelor este uniunea mulțimilor naturale și întregi.
Când aranjăm numerele reale pe o linie, avem faptul că numărul zero este originea liniei, în dreapta zero vor fi numerele pozitive, iar în stânga, numerele negative.
Deoarece această axă este reală, putem spune că între două numere există numere infinite și că această axă este infinită atât în direcție pozitivă când intră direcție negativă.
Set de numere complexe
O set de numere complexe este ultimul și a apărut din același motiv ca și setul de numere întregi, adică este o operație a cărei dezvoltare nu este posibilă doar cu setul de reali.
Rezolvând următoarea ecuație, vedeți că nu are nicio soluție, știind doar numerele reale.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Rețineți că trebuie să găsim un număr care atunci când ridicadO pătrat, rezultă un număr negativ. Noi stim aia orice număr pătrat este întotdeauna pozitiv, prin urmare, acest calcul nu are o soluție reală.
Astfel au fost create numerele complexe, în care avem un număr imaginar notat cu eu, care are următoarea valoare:
Deci, realizează că ecuaţie care înainte nu avea nicio soluție acum o are. Verifică:
Citeste mai mult: Proprietăți care implică numere complexe
intervale efective
În unele cazuri, nu vom folosi fiecare axă reală, adică vom folosi părți ale acesteia care vor fi numite pauze. Aceste intervale sunt subseturi ale mulțimii numerelor reale. Apoi, vom stabili câteva notații pentru aceste subseturi.
Gama închisă - fără a include extremele
Un interval este închis când acesta are cele două extreme ale sale, adică minimul și maximul și, în acest caz, extremele nu aparțin domeniului. Vom nota acest lucru folosind o minge deschisă. Uite:
În roșu sunt numerele care aparțin acestei game, adică sunt numere mai mare decât a și mai mică decât b. Algebric, scriem un astfel de interval după cum urmează:
< X
Unde numărul x este toate numerele reale care se află în acest interval. Îl putem reprezenta și simbolic. Uite:
] The; B [ sau (The; B)
Gama închisă - inclusiv extreme
Acum să folosim bile închise pentru a reprezenta asta extremele aparțin domeniului.
Așadar, colectăm numere reale care sunt între a și b, inclusiv ele. Algebric, exprimăm un astfel de interval prin:
≤ Xb
Folosind notația simbolică, avem:
[The; B]
Gama închisă - inclusiv una dintre extreme
Având în vedere încă intervale închise, avem acum cazul în care este inclusă doar una dintre extreme. Prin urmare, una dintre baloane se va închide, indicând faptul că numărul aparține domeniului, iar celălalt nu, indicând faptul că numărul nu aparține acelei zone.
Algebric, reprezentăm acest interval astfel:
≤ X
Simbolic avem:
[The; B [ sau [The; B)
Gama deschisă - fără capăt inclus
Un interval este deschis când nu are un element maxim sau minim. Acum vom vedea o carcasă cu raza deschisă care are doar element maxim, care nu este inclusă în raza de acțiune.
Vedeți dacă gama constă din numere reale mai mici decâtB, și, de asemenea, rețineți că numărul b care nu aparține domeniului (bilă deschisă), deci, algebric, putem reprezenta intervalul prin:
X
Simbolic îl putem reprezenta prin:
] – ∞; B [ sau (– ∞; B)
Gama deschisă - inclusiv extremă
Un alt exemplu de gamă deschisă este cazul în care este inclusă extrema. Aici avem o gamă în care apare elementul minim, a se vedea:
Rețineți că toate numerele reale sunt mai mari sau egale cu numărul a, deci putem scrie acest interval algebric prin:
Xla
Simbolic avem:
[The; +∞[ sau [The; +∞)
raza deschisa
Un alt caz de raza deschisa este format din numere mai mari și mai mici decât numerele fixate pe linia reală. Uite:
Rețineți că numerele reale care aparțin acestui interval sunt cele mai mici sau egale cu numărul a sau cele care sunt mai mari decât numărul b, deci trebuie să:
X la sauX > b
Simbolic avem:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
sau
(– ∞; a] U (b; + ∞)
de Robson Luiz
Profesor de matematică
