Până la mijlocul secolului al XVI-lea, ecuații precum x2 - 6x + 10 = 0 au fost pur și simplu considerate „fără soluție”. Acest lucru se datorează faptului că, conform formulei lui Bhaskara, la rezolvarea acestei ecuații, rezultatul găsit ar fi:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Problema a fost găsită în √– 4, care nu are nicio soluție în cadrul numărului real, adică nu există un număr real care, înmulțit cu el însuși, dă √– 4, deoarece 2 · 2 = 4 și (–2) (- 2) = 4.
În 1572, Rafael Bombelli era ocupat să rezolve ecuația x3 - 15x - 4 = 0 folosind formula lui Cardano. Prin această formulă, se concluzionează că această ecuație nu are rădăcini reale, deoarece ajunge să fie necesară pentru a calcula √– 121. Cu toate acestea, după câteva încercări, este posibil să constatăm că 43 - 15 · 4 - 4 = 0 și, prin urmare, x = 4 este o rădăcină a acestei ecuații.
Având în vedere existența unor rădăcini reale neexprimate de formula lui Cardano, Bombelli a avut ideea de a presupune că √– 121 ar avea ca rezultat √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 și aceasta ar putea fi o rădăcină „ireală” pentru ecuație studiat. Astfel, √– 121 ar face parte dintr-un nou tip de număr care alcătuiește celelalte rădăcini nefondate ale acestei ecuații. Deci ecuația x
3 - 15x - 4 = 0, care are trei rădăcini, ar avea x = 4 ca rădăcină reală și alte două rădăcini aparținând acestui nou tip de număr.La sfârșitul secolului al XVIII-lea, Gauss a numit aceste numere ca numere complexe. În acel moment, numere complexe luau deja forma a + bi, cu i = √– 1. În plus, și B erau deja considerați puncte ale unui avion cartezian, cunoscut sub numele de avion Argand-Gauss. Astfel, numărul complex Z = a + bi avea ca reprezentare geometrică un punct P (a, b) al planului cartezian.
Prin urmare, expresia „numere complexe”A început să fie folosit cu referire la setul numeric ai cărui reprezentanți sunt: Z = a + bi, cu i = √– 1 și cu și B aparținând mulțimii numerelor reale. Această reprezentare se numește forma algebrică a numărului complex Z.
Deoarece numerele complexe sunt formate din două numere reale și unul dintre ele este înmulțit cu √– 1, acestor numere reale li s-a dat un nume special. Având în vedere numărul complex Z = a + bi, a este „partea reală a lui Z” și b este „partea imaginară a lui Z”. Matematic, putem scrie, respectiv: Re (Z) = a și Im (Z) = b.
Ideea de modul a unui număr complex este cristalizată analog ideii de modul a unui număr real. Considerând punctul P (a, b) ca reprezentare geometrică a numărului complex Z = a + bi, distanța dintre punctul P și punctul (0,0) este dată de:
| Z | = √(The2 + b2)
O a doua modalitate de a reprezenta numerele complexe este prin Forma polară sau trigonometrică. Această formă folosește modulul unui număr complex în constituția sa. Numărul complex Z, algebric Z = a + bi, poate fi reprezentat cu forma polară prin:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Este interesant de observat că planul cartezian este definit de două linii ortogonale, cunoscute sub numele de axe x și y. Știm că numerele reale pot fi reprezentate printr-o linie, pe care sunt așezate toate numerele raționale. Spațiile rămase sunt umplute cu numerele iraționale. În timp ce numerele reale sunt toate pe linia cunoscută sub numele de Axa X. din planul cartezian, toate celelalte puncte aparținând acelui plan ar fi diferența dintre numerele complexe și numerele reale. Astfel, mulțimea numerelor reale este conținută în mulțimea numerelor complexe.
De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm