Originea lui i pătrat egal cu -1

În studiul numerelor complexe întâlnim următoarea egalitate: i2 = – 1.
Justificarea acestei egalități este de obicei asociată cu rezolvarea ecuațiilor de gradul 2 cu rădăcini pătrate negative, ceea ce reprezintă o eroare. Originea expresiei i2 = - 1 apare în definiția numerelor complexe, o altă problemă care ridică, de asemenea, multe îndoieli. Să înțelegem motivul unei astfel de egalități și cum apare aceasta.
În primul rând, să facem câteva definiții.
1. O pereche ordonată de numere reale (x, y) se numește număr complex.
2. Numere complexe (x1y1) și (x2y2) sunt egale dacă și numai dacă x1 = x2 și y1 = y2.
3. Adunarea și multiplicarea numerelor complexe sunt definite prin:
(X1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(X1y1)*(X2y2) = (x1*X2 - da1* y2, X1* y2 + y1*X2)
Exemplul 1. Luați în considerare z1 = (3, 4) și z2 = (2, 5), calculați z1 + z2 și z1* z2.
Soluţie:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Folosind a treia definiție este ușor să arăți că:


(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0) * (x2, 0) = (x1*X2, 0)
Aceste egalități arată că, în ceea ce privește operațiile de adunare și multiplicare, numerele complexe (x, y) se comportă ca niște numere reale. În acest context, putem stabili următoarea relație: (x, 0) = x.
Folosind această relație și simbolul i pentru a reprezenta numărul complex (0, 1), putem scrie orice număr complex (x, y) după cum urmează:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → care este apelul normal al unui număr complex.
Astfel, numărul complex (3, 4) în formă normală devine 3 + 4i.
Exemplul 2. Scrieți următoarele numere complexe în formă normală.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Acum observați că numim i numărul complex (0, 1). Să vedem ce se întâmplă când faci i2.
Știm că i = (0, 1) și că i2 = i * i. Urmați:
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Folosind definiția 3, vom avea:
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
După cum am văzut mai devreme, fiecare număr complex al formei (x, 0) = x. Prin urmare,
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Am ajuns la faimoasa egalitate i2 = – 1.

De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia

Numere complexe - Matematica - Școala din Brazilia

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm

Netflix lansează încă două jocuri pe platforma sa pentru utilizatorii săi

Spre deosebire de ceea ce cred mulți oameni, platforma digitală Netflix merge cu mult dincolo de ...

read more

Învață cum să faci bomboane cu banane prea coapte și cojile lor!

Este aproape cultural să mănânci o dulceață după prânz în Brazilia, dar odată cu strângerea factu...

read more
Care sunt cele 6 ființe mitologice care sunt ascunse în căutarea cuvintelor?

Care sunt cele 6 ființe mitologice care sunt ascunse în căutarea cuvintelor?

DivertismentCăutările de cuvinte sunt caracterizate de litere amestecate, în care jucătorul trebu...

read more