În studiul numerelor complexe întâlnim următoarea egalitate: i2 = – 1.
Justificarea acestei egalități este de obicei asociată cu rezolvarea ecuațiilor de gradul 2 cu rădăcini pătrate negative, ceea ce reprezintă o eroare. Originea expresiei i2 = - 1 apare în definiția numerelor complexe, o altă problemă care ridică, de asemenea, multe îndoieli. Să înțelegem motivul unei astfel de egalități și cum apare aceasta.
În primul rând, să facem câteva definiții.
1. O pereche ordonată de numere reale (x, y) se numește număr complex.
2. Numere complexe (x1y1) și (x2y2) sunt egale dacă și numai dacă x1 = x2 și y1 = y2.
3. Adunarea și multiplicarea numerelor complexe sunt definite prin:
(X1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(X1y1)*(X2y2) = (x1*X2 - da1* y2, X1* y2 + y1*X2)
Exemplul 1. Luați în considerare z1 = (3, 4) și z2 = (2, 5), calculați z1 + z2 și z1* z2.
Soluţie:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Folosind a treia definiție este ușor să arăți că:
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0) * (x2, 0) = (x1*X2, 0)
Aceste egalități arată că, în ceea ce privește operațiile de adunare și multiplicare, numerele complexe (x, y) se comportă ca niște numere reale. În acest context, putem stabili următoarea relație: (x, 0) = x.
Folosind această relație și simbolul i pentru a reprezenta numărul complex (0, 1), putem scrie orice număr complex (x, y) după cum urmează:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → care este apelul normal al unui număr complex.
Astfel, numărul complex (3, 4) în formă normală devine 3 + 4i.
Exemplul 2. Scrieți următoarele numere complexe în formă normală.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Acum observați că numim i numărul complex (0, 1). Să vedem ce se întâmplă când faci i2.
Știm că i = (0, 1) și că i2 = i * i. Urmați:
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Folosind definiția 3, vom avea:
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
După cum am văzut mai devreme, fiecare număr complex al formei (x, 0) = x. Prin urmare,
eu2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Am ajuns la faimoasa egalitate i2 = – 1.
De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia
Numere complexe - Matematica - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm