O iloczyn skalarny między dwoma wektorami jest liczbą rzeczywistą, która odnosi się do wielkości tych wektorów, to znaczy ich długości i kąta między nimi. Aby go obliczyć, konieczna jest zatem znajomość ich długości i kąta, jaki tworzą.
Używając płaszczyzny jako podstawy, wektor wskazuje położenie, intensywność, kierunek i kierunek. Dlatego jest używany w badaniach Mechaniki (Fizyki) jako reprezentant siły przyłożonej do obiektu.
Typową reprezentacją wektora jest strzałka, która kończy się w punkcie. Mówi się, że współrzędne tego punktu są współrzędnymi wektora rozpoczynającego się od punktu O (0,0). Piszemy v = (a, b), aby to przedstawić. Zatem wektor v = (1,2) jest rysowany w następujący sposób:
Przykład wektora zaczynając od początku
Aby obliczyć długość tego wektora, rozważ utworzony przez niego trójkąt prostokątny i jego rzut na oś x (lub oś y), jak pokazano na poniższym rysunku:
Długość wektora v
Długość wektora v nazywamy v wektor norm vector lub moduł wektorowy v i jest reprezentowana przez |v|. Zauważ, że norma wektora v = (a, b) jest dokładnie miarą przeciwprostokątnej trójkąta przedstawionego na powyższym rysunku. Aby obliczyć tę miarę, używamy twierdzenia Pitagorasa:
|v|2 =2 + b2
|v| = (a2 + b2 )
Dwa wektorowe iloczyny kropkowe
Mając dwa wektory u i v, iloczyn skalarny między nimi jest reprezentowany przez i jest zdefiniowany jako:
= |u||v|·cosθ
Jest to rodzaj mnożenia między dwoma wektorami, jednak nie jest nazywany iloczynem, ponieważ nie jest to zwykłe mnożenie, ponieważ obejmuje kąt utworzony przez te dwa wektory.
Kąt między dwoma wektorami
Pierwszym wynikiem wynikającym z powyższej definicji jest kąt między dwoma wektorami. Za pomocą liczb rzeczywistych „iloczyn skalarny”, „norma wektora u” i „norma wektora v” można obliczyć kąt między wektorami u i v. Aby to zrobić, po prostu wykonaj obliczenia:
= |u||v|·cosθ
= cosθ
|u||v|
Dlatego dzieląc iloczyn skalarny przez normy wektorów u i v znajdujemy liczbę rzeczywistą odnoszącą się do cosinusa między tymi dwoma wektorami, a zatem kąt między nimi.
Zauważ, że jeśli kąt między dwoma wektorami jest prosty, cosθ jest równy zero. Dlatego powyższy produkt będzie miał następujący wynik:
= 0
Na tej podstawie można wywnioskować, że przy danych dwóch wektorach u i v będą one ortogonalne, jeśli = 0.
Iloczyn wewnętrzny obliczony na podstawie współrzędnych wektora
Biorąc pod uwagę dwa wektory u = (a, b) i v = (c, d), iloczyn skalarny między u i v jest określony wzorem:
= = a·c + b·d
Wewnętrzne właściwości produktu
Mając wektory u, v i w oraz liczbę rzeczywistą α, zauważ:
ja) =
Oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów jest „przemienny”.
ii) = +
Ta właściwość jest porównywalna do rozdzielności mnożenia przez dodawanie.
iii) = = α
Obliczenie iloczynu skalarnego między u i v pomnożonego przez liczbę rzeczywistą α jest tym samym, co obliczenie iloczynu skalarnego między αv i u lub między v i αu.
iv)
Iloczyn skalarny v z v wynosi tylko zero, jeśli v jest wektorem zerowym.
v)
Iloczyn skalarny v z v będzie zawsze większy lub równy zero.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm
