Jeden równanie to zdanie matematyczne, które ma równość i co najmniej jedną niewiadomą, to znaczy, gdy mamy do czynienia z a wyrażenie algebraiczne i równość. Badanie równań wymaga wcześniejszej wiedzy, takiej jak badanie wyrażenia numeryczne. Celem równania jest znajdź nieznaną wartość która zamienia równość w tożsamość, czyli prawdziwą równość.
Przeczytaj też:Operacje na ułamkach – jak obliczyć?
Podstawowe pojęcia do badania równań
Równanie to matematyczne zdanie, które ma nieznanyprzynajmniej, i równość, i możemy ją uszeregować według liczby niewiadomych. Zobacz kilka przykładów:
a) 5t – 9 = 16
Równanie ma niewiadomą, reprezentowaną przez literę t.
b) 5x + 6 lat = 1
Równanie ma dwie niewiadome, reprezentowane przez litery x i tak.
c) t4 – 8z = x
Równanie ma trzy niewiadome, reprezentowane przez litery dobrze,z i x.
Niezależnie od równania, musimy wziąć pod uwagę twoje zestaw wszechświata,składa się ze wszystkich możliwych wartości, które możemy przypisać do nieznanego, ten zestaw jest reprezentowany przez literę U.
Przykład 1
Rozważ równanie x + 1 = 0 i jego możliwe rozwiązanie x = –1. Rozważmy teraz, że zbiór równania wszechświata to naturalny.
Zauważ, że domniemane rozwiązanie nie należy do zbioru wszechświatów, ponieważ jego elementy są wszystkimi możliwymi wartościami, jakie może przyjąć niewiadoma, więc x = –1 nie jest rozwiązaniem równania.
Oczywiście im większa liczba niewiadomych, tym trudniej określić swoje rozwiązanie. TEN rozwiązanie lub źródło równania jest zbiorem wszystkich wartości, które po przypisaniu do nieznanego sprawiają, że równość jest prawdziwa.
Przykład 2
Rozważ równanie z nieznanym 5x – 9 = 16, sprawdź, czy x = 5 jest rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Aby można było tak powiedzieć x = 5 jest rozwiązaniem równania, musimy podstawić tę wartość w wyrażeniu, jeśli znajdziemy prawdziwą równość, to liczba będzie testowanym rozwiązaniem.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Zobacz, że znaleziona równość jest prawdziwa, więc mamy tożsamość, a liczba 5 jest rozwiązaniem. Możemy więc powiedzieć, że zbiór rozwiązań jest określony wzorem:
S = {5}
Przykład 3
Rozważ równanie t2 = 4 i sprawdź, czy t = 2 lub t = –2 są rozwiązaniami równania.
Analogicznie należy podstawić do równania wartość t, jednak należy zwrócić uwagę, że mamy dwie wartości dla niewiadomej i dlatego weryfikację należy przeprowadzić w dwóch krokach.
Krok 1 – Dla t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Krok 2 – Dla t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Zobacz dla t = 2 i t = – 2 znajdujemy identyczność, więc te dwie wartości są rozwiązaniami równania. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór rozwiązań to:
S = {2, –2}
Rodzaje równań
Możemy również sklasyfikować równanie według pozycji, jaką zajmują niewiadome. Zobacz główne typy:
Równania wielomianowe
W równania wielomianowe charakteryzują się wielomianem równym zero. Zobacz kilka przykładów:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Liczby6, 5 i –5 są współczynnikami równania.
B) 9x – 9= 0
Liczby 9 i – 9 są współczynnikami równania.
c) tak2– tak – 1 = 0
Liczby 1, – 1 i – 1 są współczynnikami równania.
Stopnie równania
Równania wielomianowe można klasyfikować według ich stopnia. Tak dobrze jak wielomiany, stopień równania wielomianowego jest podany przez najwyższa moc, która ma niezerowy współczynnik.
Z poprzednich przykładów a, b i c wynika, że stopnie równań to:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Równanie wielomianowe trzeci stopień
b) 9x – 9 = 0 → Równanie wielomianowe pierwszy stopień
do) tak2 – y – 1 = 0 → Równanie wielomianowe Liceum
Przeczytaj też: równanie kwadratoweu: jak liczyć, rodzaje, przykłady
równania racjonalne
Równania wymierne charakteryzują się posiadaniem niewiadome w mianowniku a frakcja. Zobacz kilka przykładów:
Przeczytaj też: Czym są liczby wymierne?
irracjonalne równania
W irracjonalne równania charakteryzują się posiadaniem niewiadome wewnątrz n-tego korzenia, czyli wewnątrz radykału, który ma indeks n. Zobacz kilka przykładów:
równania wykładnicze
W równania wykładnicze mieć niewiadome znajdujące się w wykładniku z moc. Zobacz kilka przykładów:
równanie logarytmiczne
W równania logarytmiczne charakteryzują się posiadaniem jedna lub więcej niewiadomych w jakiejś części logarytm. Zobaczymy, że stosując definicję logarytmu, równanie wypada w niektórych poprzednich przypadkach. Zobacz kilka przykładów:
Zobacz też: Równanie pierwszego stopnia z niewiadomą
Jak rozwiązać równanie?
Aby rozwiązać równanie, musimy przestudiować metody stosowane w każdym typie, to znaczy dla każdego typu równania istnieje inna metoda określania możliwych pierwiastków. Jednak wszystkie te metody są wywodzi się z zasady równoważności, za jego pomocą można rozwiązywać główne typy równań.
Zasada równoważności
Druga zasada równoważności, możemy swobodnie operować po jednej stronie równości, o ile robimy to samo po drugiej stronie równości. Aby poprawić zrozumienie, wymienimy te strony.
Dlatego zasada równoważności mówi, że jest to możliwe operować na pierwszej kończynie swobodnie tak długo, jak ta sama operacja jest wykonywana na drugim członku.
Aby zweryfikować zasadę równoważności, rozważ następującą równość:
5 = 5
Chodźmy teraz dodać po obu stronach liczba 7 i zauważ, że równość nadal będzie prawdziwa:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Chodźmy teraz odejmować 10 po obu stronach równości, zauważ ponownie, że równość nadal będzie prawdziwa:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
zobacz, że możemy zwielokrotniać lub dzielić i podnieś do moc lub nawet wyodrębnij źródło,dopóki odbywa się to na pierwszym i drugim elemencie, równość zawsze będzie prawdziwa.
Aby rozwiązać równanie, musimy wykorzystać tę zasadę wraz ze znajomością wspomnianych operacji. W celu ułatwienia rozwoju równań pomińmy operację wykonaną na pierwszym elemencie, jest równoznaczne z powiedzeniem, że przekazujemy numer drugiemu członkowi, zamieniając znak na przeciwny.
Pomysł na określenie rozwiązania równania jest zawsze wyizoluj nieznane, stosując zasadę równoważności, Popatrz:
Przykład 4
Korzystając z zasady równoważności wyznacz zbiór rozwiązań równania 2x – 4 = 8 wiedząc, że zbiór wszechświata jest dany wzorem: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Aby rozwiązać równanie wielomianowe pierwszego stopnia, musimy odizolować niewiadomą w pierwszym członie. W tym celu weźmiemy liczbę -4 z pierwszego pręta, dodając 4 po obu stronach, ponieważ -4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Zauważ, że wykonanie tego procesu jest równoznaczne z przekazaniem liczby 4 z przeciwnym znakiem. Tak więc, aby wyizolować nieznane x, przekażmy liczbę 2 drugiemu członowi, ponieważ mnoży x. (Pamiętaj: odwrotną operacją mnożenia jest dzielenie). Byłoby to to samo, co podzielenie obu stron przez 2.
Dlatego zestaw rozwiązań jest podany przez:
S = {6}
Przykład 5
Rozwiąż równanie 2x+5 = 128 wiedząc, że zbiór wszechświata jest dany przez U = ℝ.
Aby rozwiązać równanie wykładnicze, użyjmy najpierw następującego właściwość potęgowania:
m + n =mi · aNie
Wykorzystamy również fakt, że 22 = 4 i 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Zauważ, że możliwe jest podzielenie obu stron przez 32, to znaczy przekazanie liczby 32 drugiemu członowi przez podzielenie.
Więc musimy:
2x = 4
2x = 22
Jedyną wartością x spełniającą równość jest liczba 2, więc x = 2, a zbiór rozwiązań jest określony wzorem:
S = {2}
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Rozważmy zbiór zbioru U = ℕ i wyznaczmy rozwiązanie następującego równania niewymiernego:
Rozkład
Aby rozwiązać to równanie, musimy zająć się wyeliminowaniem pierwiastka pierwszego elementu. Zauważ, że w tym celu konieczne jest podniesienie pierwszego członka do tego samego indeksu co korzeń, czyli do sześcianu. Zgodnie z zasadą równoważności musimy także wychować drugiego członka równości.
Zauważ, że musimy teraz rozwiązać równanie wielomianowe drugiego stopnia. Przekażmy liczbę 11 drugiemu członowi (odejmijmy 11 po obu stronach równości), aby wyizolować niewiadomą x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Teraz, aby określić wartość x, zobacz, że istnieją dwie wartości, które spełniają równość, x’ = 4 lub x’’ = –4, pewnego razu:
42 = 16
i
(–4)2 = 16
Zwróćmy jednak uwagę w pytaniu, że dany zbiór uniwersum jest zbiorem liczb naturalnych, a liczba –4 do niego nie należy, a zatem zbiór rozwiązań dany jest wzorem:
S = {4}
pytanie 2 – Rozważmy równanie wielomianowe x2 + 1 = 0 wiedząc, że zbiór wszechświata jest dany przez U = ℝ.
Rozkład
Dla zasady równoważności odejmij 1 od obu członków.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Zauważ, że równość nie ma rozwiązania, ponieważ zbiór wszechświata to liczby rzeczywiste, czyli wszystkie wartości, które niewiadoma może przyjąć, są rzeczywiste i nie ma liczby rzeczywistej, która po podniesieniu do kwadratu jest negatywny.
12 = 1
i
(–1)2 = 1
Dlatego równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, a zatem możemy powiedzieć, że zbiór rozwiązań jest pusty.
S = {}
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
