TEN obwód jest płaską figurą geometryczną utworzoną przez połączenie równoodległych punktów, czyli mają taką samą odległość od stałego punktu zwanego środkiem. Badanie obwodu jest również obecne w Geometria analityczna, w którym można wyprowadzić równanie, które go reprezentuje.
Chociaż koło i obwód to płaskie figury geometryczne z pewnymi elementami wspólnymi, co zwykle budzi wątpliwości, figury te prezentują istotne różnice, zwłaszcza w zakresie wymiarowości.
Przeczytaj też: Odległość między dwoma punktami - ważna koncepcja geometrii analitycznej
elementy koła
Zwróć uwagę na obwód:
Punkt DO to jest nazwane środek okręgui zauważ, że należą do niego punkty A i B. Odcinek, który łączy końce koła przechodzącego przez środek, nazywa się średnica. Na poprzednim obwodzie musimy średnica to odcinek AB.
Do podziel średnicę na pół, zdobądźmy promień obwodu, czyli promień (r) okręgu jest to segment, który łączy środek i koniec. W tym przypadku promień jest segmentem CB. Możemy ustalić matematyczną zależność między tymi dwoma elementami, ponieważ średnica jest dwukrotnie większa od promienia.
d = 2 · r
Przykład
Określ promień okręgu o średnicy 40 cm.
Wiemy, że średnica jest dwa razy większa niż promień, tak:
długość obwodu
Rozważ okrąg, którego promień mierzy r. O długość lub obwód obwodu jest iloczynem dostała pi (π) o dwukrotny promień.
Obliczając długość lub obwód koła, określamy wielkość linii zielony na poprzednim rysunku i aby to zrobić, wystarczy zastąpić wartość promienia we wzorze, który przechodzi do postać.
Przykład
Określ długość obwodu o promieniu 5 cm.
Promień okręgu wynosi 5 cm, więc aby wyznaczyć długość okręgu, musimy podstawić tę wartość we wzorze.
C = 2πr
C = 2(3,14)(5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Zobacz też: Budowa wpisanych wielokątów
obszar obwodu
Rozważ okrąg o promieniu r. Aby obliczyć Twój obszar, musimy pomnóż kwadrat wartości promienia przez π.
Obliczając powierzchnię koła, wyznaczamy miarę powierzchni, czyli cały obszar wewnątrz koła.
- Przykład
Określ obszar koła o promieniu równym 4 cm.
Mamy, że promień obwodu jest równy 4 cm, więc możemy tę miarę podstawić we wzorze na pole. Popatrz:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
Wys = 50,24 cm2
Równanie ze zredukowanym obwodem
Wiemy, że koło można zbudować poprzez zbiór punktów o tej samej odległości od ustalonego punktu zwanego początkiem lub środkiem. Rozważ więc stały punkt w kartezjański samolot O(a, b). Zbiór punktów — reprezentowanych przez P(x, y) — które są w tej samej odległości r od tego ustalonego punktu, utworzy okrąg o promieniu r.
Zauważ, że wszystkie punkty postaci P(x, y) znajdują się w tej samej odległości od punktu O(a, b), tj. odległość między punktami O i P jest równa promieniowi okręgu, a zatem:
W zredukowane równanie, zauważ, że liczby i b są współrzędne środka okręgu i że r jest miarą promienia.
- Przykład
Określ współrzędne środka i miarę promienia okręgu, który ma równanie:
a) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36
Porównując to równanie z równaniem zredukowanym, mamy:
(x – )2 + (t – b)2 = r2
(x – 2)2 + (t –6)2 = 36
Zobacz, że a = 2, b = 6 i r2 = 36. Jedyne równanie do rozwiązania to:
r2 = 36
r = 6
Dlatego współrzędna środka to: O(2, 6) a długość promienia to 6.
b) (x – 5)2 + (t + 3)2 = 121
Podobnie mamy:
(x – )2 + (t – b)2 = r2
(x – 5)2 + (t + 3)2 = 121
a = 5
– b = 3
b = –3
Natomiast wartość promienia dana jest wzorem:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x – )2 + (t – b)2 = r2
x2 + y2 = 1
Zauważ, że x2 = (x + 0)2 i ty2 = (t + 0)2 . Więc musimy:
(x – )2 + (t – b)2 = r2
(x + 0)2 + (t + 0)2 = 1
Dlatego współrzędna środka wynosi O(0, 0), a promień jest równy 1.
Również dostęp: Jak znaleźć środek koła?
ogólne równanie okręgu
Aby wyznaczyć ogólne równanie okręgu, musimy: opracować zredukowane równanie jej. Rozważmy zatem okrąg, którego środek ma współrzędne O(a, b) i promień r.
Początkowo opracujemy terminy do kwadratu za pomocą godne uwagi produkty; następnie przekażemy wszystkie liczby pierwszemu członkowi; i wreszcie połączymy terminy o tym samym dosłownym współczynniku, czyli te z tymi samymi literami. Popatrz:
Przykład
Określ współrzędne środka i średni promień okręgu, który ma równanie:
a) x2 + y2 – 4x – 6 lat + 4 + 9 – 49 = 0
Aby określić promień i współrzędne okręgu, który ma to równanie, musimy porównać je z ogólnym równaniem. Popatrz:
x2 + y2 – 2.x- 2by + 2 + b2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x- 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Z porównań na zielono musimy:
2. = 4
a = 2
lub
2 = 4
a = 2
Z porównań na czerwono mamy to:
2b = 6
b = 3
lub
b2 = 9
b = 3
Możemy więc powiedzieć, że środek ma współrzędną O(2, 3). Teraz porównując wartość r, mamy:
r2 = 49
r = 7
Dlatego promień okręgu ma długość równą 7.
b) x2 + y2 – 10x + 14 lat + 10 = 0
W podobny sposób porównajmy równania:
x2 + y2 – 2.x- 2by + 2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Ustalenie wartości b:
–2b = 14
b = – 7
Zauważ teraz, że:
2 + b2 – r2 = 10
Ponieważ znamy wartości a i b, możemy je podstawić we wzorze. Popatrz:
2 + b2 – r2 = 10
52 + (–7)2 – r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 – r2 = 10
– r2 = 10 – 74
(–1) – r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Dlatego współrzędne środka to O (5, –7), a promień ma długość równą 8.
Różnice między obwodem a okręgiem
Różnica między kołem a kołem dotyczy liczba wymiarów każdego elementu. Podczas gdy okrąg ma jeden wymiar, okrąg ma dwa.
Okrąg to obszar na płaszczyźnie utworzony przez punkty, które są równoodległe od ustalonego punktu zwanego początkiem. Krąg składa się z każdego regionu w obrębie kręgu. Zobacz różnicę w obrazach:
Zobacz też:długość obwodu i powierzchnia koła
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Obwód ma obwód równy 628 cm. Określ średnicę tego okręgu (przyjmij π = 3,14).
Rozkład
Ponieważ obwód jest równy 628 cm, możemy podstawić tę wartość w wyrażeniu na długość obwodu.
pytanie 2 – Dwa okręgi są koncentryczne, jeśli mają ten sam środek. Wiedząc o tym, określ obszar pustej figury.
Rozkład
Zwróć uwagę, że aby określić obszar regionu na biało, musimy określić obszar większego koła, a następnie mniejszego koła na niebiesko. Zauważ też, że jeśli usuniemy niebieskie kółko, pozostanie tylko żądany region, więc musimy odjąć te obszary. Popatrz:
TENWIĘKSZY = r2
TENWIĘKSZY = (3,14) · (9)2
TENWIĘKSZY = (3,14) · 81
TENWIĘKSZY = 254,34 cm2
Obliczmy teraz obszar niebieskiego koła:
TENMNIEJSZY = r2
TENMNIEJSZY = (3,14) · (5)2
TENMNIEJSZY = (3,14) · 25
TENMNIEJSZY = 78,5 cm2
Tak więc pusty obszar wynika z różnicy między większym obszarem a mniejszym obszarem.
TENBIAŁY = 254,34 – 78,5
TENBIAŁY = 175,84 cm2
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm
