Wszystkie istniejące liczby zostały stworzone zgodnie z potrzebami człowieka w momencie tworzenia, podobnie jak liczby naturalne, które zostały stworzone do liczenia i kontrolowania „zapasów” oraz liczb niewymiernych, które zostały ustanowione w celu rozwiązywania problemów związanych z korzenie. To właśnie problemy związane z korzeniami zapoczątkowały wiedzę o Liczby zespolone.
Równanie kwadratowe x2 + 4x + 5 = 0 nie ma prawdziwych pierwiastków. Oznacza to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie można znaleźć wartości x, które są równe pierwszemu członowi tego równania i drugiemu. Zjawisko to obserwujemy od początku formuły Bhaskary:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Po znalezieniu wartości ujemnej dla Δ niemożliwe staje się kontynuowanie wzoru Bhaskary, ponieważ wymaga obliczenia √Δ (pierwiastek delta). Teraz wiemy, że √ – 4 nie można obliczyć, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej, która pomnożona przez siebie daje – 4.
Liczby zespolone zostały stworzone, aby sprostać tym potrzebom. Od momentu powstania √– 4 można opracować w następujący sposób:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √(– 1) jest rozumiany jako nowy typ liczby. Zbiór wszystkich tych liczb jest znany jako zbiór liczb zespolonych, a każdy przedstawiciel tego nowego zbioru jest zdefiniowany następująco: Niech A będzie liczbą zespoloną,
A = + bja, gdzie i b są liczbami rzeczywistymi i i = √(– 1)
W tej definicji Jest znany jako prawdziwa część A i b Jest znany jako część urojona A.
Własności liczb zespolonych
Liczby rzeczywiste reprezentują w całości i geometrycznie prostą. Z kolei liczby zespolone reprezentują całą płaszczyznę. Płaszczyzna kartezjańska używana do reprezentowania liczb zespolonych jest znana jako płaszczyzna Arganda-Gaussa.
Każda liczba zespolona może być reprezentowana na płaszczyźnie Arganda-Gaussa jako punkt o współrzędnych (a, b). Odległość od punktu reprezentującego liczbę zespoloną do punktu (0,0) nazywamy modułem liczby zespolonej., który jest zdefiniowany:
Niech A = a + bi będzie liczbą zespoloną, jej moduł to |A| = a2 + b2
Liczby zespolone mają również element odwrotny, zwany sprzężeniem. Definiuje się go jako:
Niech A = a + bi będzie liczbą zespoloną,
Ā = a – bi jest koniugatem tej liczby.
Właściwość 1: Iloczyn liczby zespolonej i jej sprzężenia jest równy sumie kwadratów części rzeczywistej i części urojonej liczby zespolonej. Matematycznie:
AĀ = a2 + b2
Przykład: Jaki jest iloczyn A = 2 + 5i przez jego koniugat?
Po prostu wykonaj obliczenia: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Gdybyśmy zdecydowali się napisać koniugat A, a następnie wykonać mnożenie AĀ, mielibyśmy:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
To znaczy, korzystając z proponowanej właściwości, można uniknąć długich obliczeń, a także błędów podczas tych obliczeń.
Właściwość 2: Jeśli liczba zespolona A jest równa jej sprzężeniu, to A jest liczbą rzeczywistą.
Niech A = a + bi. Jeżeli A = Ā, to:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Dlatego b = 0
Dlatego konieczne jest, aby każda liczba zespolona równa jej sprzężeniu była również liczbą rzeczywistą.
Właściwość 3: Sprzężenie sumy dwóch liczb zespolonych jest równe sumie sprzężeń tych liczb., to jest:
_____ _ _
A + B = A + B
Przykład: Jaka jest sprzężona suma 7 + 9i i 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Możesz najpierw dodać, a następnie obliczyć koniugat wyniku lub najpierw wykonać koniugaty, a następnie dodać wyniki później.
Właściwość 4: Sprzężenie iloczynu między dwiema liczbami zespolonymi jest równe iloczynowi ich sprzężeń, to znaczy:
__ _ _
AB = A·B
Przykład: Jaki jest iloczyn koniugatów A = 7i + 10 i B = 4 + 3i?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
W zależności od potrzeb ćwiczenia możliwe jest najpierw pomnożenie, a następnie obliczenie koniugatu lub wyświetlenie koniugatów przed wykonaniem mnożenia.
Właściwość 5: Iloczyn liczby zespolonej A i jej sprzężenia jest równy kwadratowi modułu A, to znaczy:
AĀ = |A|2
Przykład: A = 2 + 6i, to AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Zauważ, że nie jest konieczne znajdowanie koniugatu i przeprowadzanie mnożenia za pomocą właściwości rozdzielczej mnożenia nad dodawaniem (znanej jako mały prysznic).
Właściwość 6: Moduł liczby zespolonej jest równy modułowi jej koniugatu. Innymi słowy:
|A| = |Ā|
Przykład: Znajdź moduł sprzężenia liczby zespolonej A = 3 + 4i.
Zauważ, że nie jest konieczne znalezienie koniugatu, ponieważ moduły są takie same.
|A| = (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Gdyby obliczyć |Ā|, jedyną zmianą byłoby a b ujemny do kwadratu, co daje wynik dodatni. Tak więc wynik nadal byłby pierwiastkiem 25.
Właściwość 7: Jeśli A i B są liczbami zespolonymi, to iloczyn modułu A i B jest równy modułowi iloczynu A i B.tj.:
|AB| = |A||B|
Przykład: Niech A = 6 + 8i oraz B = 4 + 3i, ile wynosi |AB|?
Zauważ, że nie jest konieczne mnożenie liczb zespolonych przed obliczeniem modułu. Możliwe jest obliczenie modułu każdej liczby zespolonej oddzielnie, a następnie po prostu pomnożenie wyników.
|A| = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10,5 = 50
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
