Wielościany (z łaciny poli — wiele — i hedrona — twarz) są figurytrójwymiarowy utworzone przez połączenie regularnych wielokątów, w których wszystkie kąty wielościenne są przystające. Połączenie tych wielokątów tworzy elementy tworzące wielościan, są to: wierzchołki, krawędzie i twarze. Jednak nie każda trójwymiarowa figura jest wielościanem, przykładem tego są figury, które mają zakrzywione twarze zwane okrągłe ciała.
Istnieje wzór matematyczny, który łączy elementy wielościanu o nazwie Związek Eulera. Ponadto wielościany dzielą się na dwie grupy: tzw. wielościany wypukły i nie wypukły. Na szczególną uwagę zasługują niektóre wielościany, nazywane są Wielościany Platona: czworościan, Prostopadłościan, oktaedr, dwunastościan i dwudziestościan.
Przeczytaj też: Różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi
wielościany wypukłe
Wielościan będzie wypukły, gdy zostanie utworzony przez wielokąty wypukły, tak, aby zostały zaakceptowane następujące warunki:
- dwa wielokąty Nigdy są współpłaszczyznowe, to znaczy nie należą do tej samej płaszczyzny.
- Każda strona jednego z tych wielokątów należy tylko do dwóch wielokątów.
- Płaszczyzna zawierająca dowolny z tych wielokątów pozostawia pozostałe wielokąty w tej samej półprzestrzeni.
Przeczytaj też:Suma kątów wewnętrznych i zewnętrznych wielokąta wypukłego
Elementy wielościanu wypukłego
Rozważ ten wypukły wielościan:
ty czworokąty na rysunku są nazywane twarze wielościanu.
ty pięciokąty są twarze i podstawa wielościanu, który jest nazwany wielościan o podstawie pięciokątnej.
Segmenty, które tworzą każdą z twarzy, nazywają się krawędzie wielościanu.
Punkty, w których stykają się krawędzie, nazywane są wierzchołki.
Odcinek linii JC zostanie nazwany przekątna wielościanu, oznaczonego:
JC to jedna z przekątnych, rozumiemy przekątna wielościanu jako bytu segment linii, który łączy dwa wierzchołki nie należące do tej samej powierzchni.
Mamy też kąt wielościenny, utworzony pomiędzy krawędziami, oznaczany przez:
Kąt wielościenny nazywa się a trójścienny Gdy trzy krawędzie pochodzą z wierzchołka. Podobnie nazywa się to czworościenny, walizka cztery krawędzie pochodzą od wierzchołka i tak dalej.
Od teraz ustalimy kilka notacji, są to:
Wiedzieć więcej: Planowanie brył geometrycznych
Właściwości wielościanu wypukłego
Właściwość 1
Suma krawędzi wszystkich ścian jest równa dwukrotności liczby krawędzi wielościanu.
Przykład
Wielościan ma 6 kwadratowych ścian. Określmy liczbę krawędzi.
Zgodnie z tą właściwością wystarczy pomnożyć liczbę krawędzi ściany przez liczbę ścian, a to jest równe dwukrotności liczby krawędzi. A zatem:
Właściwość 2
Suma wierzchołków wszystkich ścian jest równa sumie krawędzi wszystkich ścian, która jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
Przykład
Wielościan z 5 kątami czworościennymi i 4 kątami sześciokątnymi. Określmy liczbę krawędzi.
Analogicznie do poprzedniego przykładu, druga własność mówi, że suma krawędzi wszystkich ścian jest równa dwukrotności liczby krawędzi. Liczba krawędzi jest iloczynem 5 na 4 i 4 na 6, ponieważ są to kąty 5 czworościenne i 4 kąty sześcienne. A zatem:
Wklęsłe (nie wypukłe) wielościany
Wielościan jest niewypukły lub wklęsły, gdy bierzemy dwa punkty na różnych ścianach i proste r zawierające te punkty nie są w całości zawarte w wielościanie.
Zauważ, że linia prosta (na niebiesko) nie jest kompletna w wielościanie, więc wielościan (na różowo) jest wklęsły lub niewypukły.
regularne wielościany
Mówimy, że wielościan jest regularny, gdy Twoje twarze to regularne wielokąty równe sobie i z jednakowymi kątami wielościennymi.
Zobacz kilka przykładów:
Zauważ, że wszystkie twoje twarze są regularnymi wielokątami. Jego twarze są utworzone przez kwadraty, a krawędzie są przystające, to znaczy mają tę samą miarę.
czytaćrównież: Czym są wielokąty regularne i wypukłe?
Związek Eulera
Znany również jako twierdzenie Eulera, wynik został udowodniony przez Leonharda Eulera (1707 - 1783) i gwarantuje, że w wszystkie zamknięte wielościan wypukły, obowiązuje następująca zależność:
Wielościany Platona
Dowolny wielościan spełniający następujące warunki nazywany jest wielościanem Platona:
Relacja Eulera jest poprawna
Wszystkie twarze mają taką samą liczbę krawędzi
Wszystkie kąty wielościenne mają taką samą liczbę krawędzi
Udowodniono, że istnieje tylko pięć wielościanów regularnych i wypukłych, czyli wielościanów Platona, są to:
czworościan foremny
czworościan ma 4 trójkątne twarze zgodny i 4 trójkątne kąty przystający, zgodny.
regularny sześcian
sześcian ma 6 kwadratowych twarzy zgodny i 8 trójkątnych kątów przystający, zgodny.
regularny ośmiościan
ośmiościan ma 8 trójkątnych twarzy zgodny i 6 kątów czworościennych przystający, zgodny.
regularny dwunastościan
dwunastościan ma 12 pięciokątnych twarzy zgodny i 20 kątówtrójścienny przystający, zgodny.
regularny dwudziestościan
Dwudziestościan ma 20 trójkątnych twarzy zgodny i 12 kątów pięciościennych przystający, zgodny.
rozwiązane ćwiczenia
1) (Wlew) Klejnot został wycięty w formie wypukłego wielościanu o 32 twarzach, z których 20 to sześciany, a pozostałe są pięciokątne. Ten klejnot będzie prezentem dla pani, która obchodzi urodziny, kończąc wiek, którego liczba jest liczbą wierzchołków tego wielościanu. Ta pani kończy:
a) 90 lat
b) 72 lata
c) 60 lat
d) 56 lat
e) 52 lata
Rozwiązanie:
Daje właściwość 1 wielościanów wypukłych wiemy, że:
Jak teraz znamy liczbę krawędzi to jest liczba twarzy, możemy użyć relacji Eulera.
Ponieważ wiek, który uzupełniasz, jest równy liczbie wierzchołków, więc jest to 60 lat. Alternatywa do.
2) (PUC-SP) Ile krawędzi ma wielościan wypukły o trójkątnych ścianach, w których liczba wierzchołków wynosi trzy piąte liczby ścian?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Rozwiązanie:
Z właściwości wielościanu wypukłego i instrukcji ćwiczeniowej otrzymujemy:
Podstawiając te wartości w relacji Eulera, otrzymujemy:
Po uporządkowaniu poprzedniego równania i rozwiązaniu równania w F wynika, że:
Podstawiając wartość liczby ścian znalezioną w równaniu krawędzi, otrzymamy:
Alternatywne b
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki