TEN algebraiczna faktoryzacja wyrażeń polega na zapisaniu wyrażenia algebraicznego w forma produktu. W praktycznych przypadkach, czyli w rozwiązaniu niektórych problemów, które dotyczą: wyrażenia algebraiczne, faktoryzacja jest niezwykle przydatna, ponieważ w większości sytuacji upraszcza wyrażenie przepracowane.
Aby dokonać faktoryzacji wyrażeń algebraicznych, użyjemy bardzo ważnego wyniku matematycznego o nazwie podstawowe twierdzenie arytmetyki, który stwierdza, że każdą liczbę całkowitą większą niż 1 można zapisać jako iloczyn liczby pierwsze, Popatrz:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Właśnie wyliczyliśmy liczby 121 i 60.
Przeczytaj też: Rozkład liczby na czynniki pierwsze
Metody rozkładania wyrażeń algebraicznych na czynniki
Teraz zobaczymy główne metody faktoryzacji, najczęściej używane zrobimy krótkie uzasadnienie geometryczne. Popatrz:
Faktoring dowodowy
Rozważ prostokąt:
Zwróć uwagę, że obszar prostokąt niebieski plus obszar zielonego prostokąta daje większy prostokąt. Przyjrzyjmy się każdemu z tych obszarów:
TENNIEBIESKI = b · x
TENZIELONY = b · y
TENWIĘKSZY = b · (x + y)
Musimy więc:
TENWIĘKSZY = ANIEBIESKI + AZIELONY
b (x + y) = bx + by
Przykłady
) Rozłożyć na czynniki wyrażenie: 12x + 24y.
Zwróć uwagę, że 12 jest czynnikiem dowodowym, ponieważ występuje w obu paczkach, więc aby określić liczby znajdujące się w nawiasach, wystarczy dzielić każdą paczkę według czynnika dowodowego.
12x: 12 = x
24 lata: 12 = 2 lata
12x + 24 lata = 12 · (x + 2 lata)
B) Rozkładanie na czynniki 21ab2 – 70.2B.
W ten sam sposób początkowo określa się czynnik dowodowy, czyli czynnik powtarzający się w paczkach. Zobacz, że z części numerycznej mamy 7 jako wspólny czynnik, ponieważ to ten, który dzieli obie liczby. A teraz, jeśli chodzi o część dosłowną, zobacz, że powtarza się tylko czynnik abdlatego dowodem jest: 7ab.
21ab2 – 70.2b = 7ab (3b - 10)
Przeczytaj też: Dzielenie wielomianowe: jak to zrobić?
Faktoring przez grupowanie
Rozkład na czynniki przez grupowanie to wynikające z faktoringu dowodowegojedyną różnicą jest to, że zamiast monomium jako wspólnego czynnika lub czynnika dowodowego, będziemy mieli wielomian, zobacz przykład:
Rozważ wyrażenie (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Zauważ, że wspólnym czynnikiem jest dwumian (a + b),w związku z tym faktoryczna forma poprzedniego wyrażenia to:
(a + b) · (xy + wz2)
różnica między dwoma kwadratami
Rozważmy dwie liczby a i b, gdy mamy a różnica kwadratu tych liczb, czyli2 - B2, więc możemy je zapisać jako iloczyn sumy za różnicętj.:
2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Przykłady
) Rozkładanie wyrażenia x. na czynniki2 - tak2.
Możemy wykorzystać różnicę między dwoma kwadratami, a więc:
x2 - tak2 = (x + y) · (x - y)
B) Do współczynnika 20202 – 2.0192.
Możemy wykorzystać różnicę między dwoma kwadratami, a więc:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trójmian idealnego kwadratu
Weź kolejny kwadrat z boku (a + b) i zanotuj pola utworzonych w nim kwadratów i prostokątów.
Zobacz obszar kwadrat większe jest podane przez (a + b)2, ale z drugiej strony obszar największego kwadratu można uzyskać, dodając kwadraty i prostokąty w środku, tak:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Podobnie musimy:
(a-b)2 =2 – 2ab + b2
Przykład
Rozważ wyrażenie x2 + 12x + 36.
Aby rozłożyć na czynniki wyrażenie tego typu, wystarczy wskazać współczynnik zmiennej x i niezależny współczynnik i porównać z podanym wzorem, patrz:
x2 + 12x + 36
2 + 2ab + b2
Dokonując porównań, zobacz, że x = a, 2b = 12 i b2 = 36; równań, mamy b = 6, więc wyrażenie na czynniki składa się:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomial liceum
Rozważ trójmian siekiery2 + bx + c. Jego rozłożony na czynniki kształt można znaleźć za pomocą twoje korzenie, czyli wartości x, które wyzerują to wyrażenie. Aby określić wartości, które sprawiają, że to wyrażenie wynosi zero, wystarczy rozwiązać równanie ax2 + bx + c = 0 przy użyciu dowolnej dogodnej metody. Tutaj wyróżniamy najbardziej znaną metodę: Metoda Bhaskary.
Rozdzielona forma trójmianu siekiery2 + bx + c to:
topór2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Przykład
Rozważ wyrażenie x2 + x – 20.
Pierwszym krokiem jest określenie pierwiastków równania x.2 + x – 20 = 0.
Czyli rozczynnikowa forma wyrażenia x2 + x – 20 to:
(x – 4) · (x + 5)
Sześcian różnicy między dwiema liczbami
Sześcian różnicy między dwiema liczbami a i b dana jest wzorem:
(a-b)3 = (a – b) · (a-b)2
(a-b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
Sześcian sumy dwóch liczb
Podobnie mamy to (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , wkrótce:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (Cefet-MG) gdzie liczba n = 6842 – 6832, suma cyfr liczby n wynosi:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Rozkład
Alternatywa re. Aby określić sumę cyfr liczby n, najpierw rozkładamy wyrażenie na czynniki, ponieważ obliczanie kwadratów, a następnie odejmowanie to niepotrzebna praca. Rozkładając wyrażenie na czynniki używając różnicy między dwoma kwadratami, otrzymujemy:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1,367 · 1
n = 1367
Dlatego suma cyfr n jest dana przez 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Pytanie 2 - (Zmodyfikowany Insper-SP) Określ wartość wyrażenia:
Rozkład
Aby ułatwić notację, nazwijmy a = 2009 i b = 2. pamiętaj, że 22 = 4, więc musimy:
Zauważ, że w liczniku ułamka mamy różnicę między dwoma kwadratami, więc możemy zapisać2 - B2 = (a + b) (a – b). Wkrótce:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
