TEN analiza kombinatoryczna to kierunek matematyki związany z zasadami liczenia. Na początku XVIII wieku badania nad grami w kości i karty spowodowały wielki rozwój teorii liczenia.
Praca kombinatoryki umożliwia realizację coraz dokładniejszych obliczeń.Podstawowa zasada liczenia (PFC), silnia i rodzaje grupowania są przykładami pojęć badanych w analizie kombinatorycznej, które oprócz zapewnienia większy precyzja pomaga Nierozwój innych dziedzin matematyki, takich jak prawdopodobieństwo i O Dwumian Newtona.
Przeczytaj też: układ lub dopołączenie?
Do czego służy analiza kombinatoryczna?
Analiza kombinatoryczna wiąże się z procesem liczenia, czyli badanie tego obszaru matematyki pozwala nam na opracowanie narzędzi, które pomagają nam wykonywać liczy się wydajniej. Spójrzmy na typowy problem liczenia, zobacz:
Przykład 1
Rozważ trzy miasta A, B i C połączone autostradami R1, R2, R3, R4 i R5. Określ, na ile sposobów możemy dostać się z miasta A do miasta C przez miasto B.
Zwróć uwagę, że musimy opuścić miasto A i udać się do miasta B, a dopiero potem możemy podróżować do miasta C, więc przeanalizujmy wszystkie możliwości do przeprowadzenia imprezy po autostradach.
Pierwszy sposób: R1 → R3
Drugi sposób: R1 → R4
Trzeci sposób: R1 → R5
Czwarty sposób: R2 → R3
Piąty sposób: R2 → R4
Szósty sposób: R2 → R5
Mamy więc sześć różnych sposobów, aby dostać się z miasta A do miasta C przez miasto B. Należy jednak zauważyć, że zaproponowany problem jest stosunkowo prosty, a przeprowadzona analiza była mało pracochłonna. Tak więc od teraz będziemy studiować bardziej wyrafinowane narzędzia, które umożliwiają rozwiązywanie problemów przy znacznie mniejszym nakładzie pracy.
Podstawowa zasada liczenia (PFC)
Rozważmy zdarzenie E, które można przeprowadzić w n niezależnych i następujących po sobie krokach. Rozważmy teraz, że liczba możliwości wykonania pierwszego kroku jest równa P1, wyobraź sobie również, że liczba możliwości przeprowadzenia drugiego etapu wynosi P.2, i tak dalej, aż dojdziemy do ostatniego etapu, który ma PNie możliwości do wykonania.
Fundamentalna zasada liczenia (PFC) stanowi, że całkowite możliwości o organizacji imprezy E podaje:
P1 ·P2 · … · PNie
Zatem suma jest iloczynem możliwości każdego z kroków składających się na zdarzenie E. Zwróć uwagę, że aby określić całkowite możliwości przeprowadzenia wydarzenia E, konieczne jest poznanie całkowitych możliwości dla każdego z etapów.
Przykład 2
Powtórzmy przykład 1, używając podstawowej zasady liczenia.
Rozważ obraz w przykładzie 1.
Pamiętaj, że wydarzenie można przeprowadzić w dwóch etapach, pierwszy z miasta A do miasta B, a drugi z miasta B do miasta C. Aby wykonać pierwszy krok, mamy dwie możliwości (drogi R1 i R2), a do przeprowadzenia drugiego etapu mamy trzy możliwości (R3, R4 i R5).
I krok → dwie możliwości
II etap → trzy możliwości
Zgodnie z podstawową zasadą liczenia musimy: zwielokrotniać całkowite możliwości każdego kroku.
2 · 3
6
Dlatego, aby przejść z miasta A do miasta C przez miasto B, mamy w sumie sześć możliwości.
Przykład 3
Na ile sposobów można rozdzielić trzy medale olimpijskie w konkursie rower górski z pięcioma konkurentami?
Organizacja rozdania medali to wydarzenie, które można przeprowadzić w trzech etapach. Pierwszym krokiem jest przeanalizowanie łącznych możliwości, kto zdobędzie złoty medal, czyli pięć możliwości.
Drugim krokiem jest przeanalizowanie możliwości, kto zdobędzie srebrny medal, czyli cztery, ponieważ pierwsze miejsce nie wchodzi w ten wybór. Trzecim krokiem jest przeanalizowanie łącznych możliwości, kto zdobędzie brązowy medal, czyli trzy, ponieważ dwa pierwsze zostały już wybrane.
1. krok → pięć możliwości
II etap → cztery możliwości
III etap → trzy możliwości
Tak więc, zgodnie z podstawową zasadą liczenia, mamy:
5 · 4 · 3
60 możliwości
Zobacz też: Zasada liczenia addytywnego - połączenie jednego lub więcej zestawów
Factorial
O Factorial jest sposobem na rozłożyć liczbę naturalną. Aby obliczyć silnię liczby, wystarczy pomnożyć ją przez wszystkie poprzedniki do liczby 1. Silnię reprezentuje wykrzyknik — „!”.
Zobacz kilka przykładów, jak obliczyć silnię niektórych liczb.
) 2! (czytaj: dwie silni)
W celu obliczenia wystarczy pomnożyć liczbę towarzyszącą silni przez wszystkich jej poprzedników do liczby 1, w ten sposób:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
do) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
re) 1! = 1
Formalnie możemy zapisać silnię w następujący sposób:
Rozważ liczbę naturalną n > 2. Silnia n jest oznaczona przez n! i jest dana przez pomnożenie n przez wszystkie dodatnie liczby całkowite poprzedników.
Nie! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Zwróć uwagę na następujące silni:
4! i 5!
Teraz przeprowadź rozwój obu:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Zauważ, że w rozwoju 5! pojawia się rozwój 4!. Więc możemy napisać 5! a zatem:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Przykład 4
Oblicz silnię secwycie:
Zobacz, że 15! został opracowany do 13!. Zauważ też, że w liczniku ułamka elementy są mnożone, więc możemy „wyciąć” 13!, w wyniku czego otrzymujemy tylko 15 · 14.
Obserwacja:0! = 1
Typy grupowania
Niektóre problemy związane z liczeniem są bardziej złożone i łatwiej je rozwiązać za pomocą nowych narzędzi. Narzędzia te nazywane są grupowaniem, ponieważ grupują elementy na różne sposoby, ułatwiając proces liczenia. Te grupy to: prosty układ, permutacja i prosta kombinacja.
prosty układ
Rozważmy zestaw składający się z n różnych elementów. nazwijmy to układ z n elementów pobranych od p do p, dowolny ciąg uporządkowany przez p oraz różne elementy wybrane spośród elementów.
Zatem liczba podzbiorów tworzonych przez p elementów będzie układem n elementów pobranych od p do p. Wzór, który pozwala nam obliczyć ilość układów, wyrażony jest wzorem:
Przykład 5
Oblicz wartość A4,2 + A5,2.
Aby obliczyć wartość wyrażenia, wyznaczmy każdą z tablic, a następnie dodajmy te wartości razem. Aby określić wartość każdej tablicy, musimy podstawić wartości we wzorze.
Zauważ, że n = 4 i p = 2, oba zostały podstawione we wzorze. Teraz musimy obliczyć wartość tablicy pięciu elementów wziętych dwa na dwa.
Musimy więc:
TEN4,2 + A5,2
12 + 20
32
Przykład 6
Ile odrębnych czterocyfrowych liczb naturalnych można utworzyć za pomocą liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9?
W tym zadaniu możemy zastosować prosty układ, bo 2435 ≠ 4235. Zobaczymy, że w niektórych przypadkach kolejność elementów ich nie różnicuje, a co za tym idzie nie możemy zastosować układu.
Ponieważ chcemy określić sumę liczb, które można utworzyć, zauważ, że suma elementów jest równa osiemi chcemy je pogrupować cztery po cztery, więc:
prosta permutacja
Rozważmy zestaw składający się z n elementów. nazwijmy to prosta permutacja z n elementów każdy układ n elementów wzięty od n do n. Więc musimy:
Aby nie było nieporozumień między pojęciami, oznaczmy prostą permutację n elementów przez PNie. Więc musimy:
PNie = n!
Przykład 7
Oblicz P7 i p3.
Aby obliczyć te permutacje, musimy podstawić wartości we wzorze. Popatrz:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Przykład 8
Określ, ile anagramów może zawierać słowo Brazylia.
Jako anagram rozumiemy wszystkie możliwe transpozycje liter tego słowa, na przykład „Lisarb” jest anagram słowa Brazylia. Aby określić liczbę anagramów, musimy obliczyć permutację liter w słowie, więc musimy:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Dlatego słowo Brazylia ma 720 anagramów.
Również dostęp: Permutacja z powtarzającymi się elementami
prosta kombinacja
Rozważmy zbiór A z n odrębnymi elementami. nazwijmy to połączenie z n elementów wziętych p do p dowolny podzbiór A utworzony przez p elementów. Wzór na obliczenie kombinacji wyrażony jest wzorem:
Przykład 9
Oblicz kombinację 10 elementów od czterech do czterech.
Przykład 10
Ile czworokąty różne czy możemy tworzyć z wierzchołkami w punktach A, B, C, D, E i F?
Zauważ, że w tym kontekście czworokąt ABCD jest taki sam jak czworokąt CDBA, więc powinniśmy używać kombinacji, a nie tablic. Mamy w sumie sześć punktów i chcemy je połączyć cztery na cztery, tak:
Dlatego możemy utworzyć 15 odrębnych czworoboków.
Analiza kombinatoryczna i prawdopodobieństwo
Nauka o prawdopodobieństwo jest ściśle związane z badaniem analizy kombinatorycznej.. W niektórych problemach prawdopodobieństwa konieczne jest wyznaczenie przestrzeni próbki, która składa się ze zbioru utworzonego przez wszystkie możliwe wyniki danego zdarzenia.
W niektórych przypadkach przestrzeń próbki E jest zapisana bardzo bezpośrednio, jak w rzucie uczciwej monety, gdzie możliwymi wynikami są orły lub reszki i są oznaczone w następujący sposób:
E = {głowy, ogon}
Teraz wyobraź sobie następującą sytuację: kostka jest rzucana trzy razy z rzędu i jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przestrzeni próbki dla tego eksperymentu. Zauważ, że spisanie wszystkich możliwości nie jest już prostym zadaniem, musimy skorzystać z podstawowej zasady liczenia (PFC). Imprezę można przeprowadzić w trzech etapach, w każdym z nich mamy sześć możliwości, gdyż kostka ma sześć twarzy, tak jak to:
I etap → sześć możliwości
II etap → sześć możliwości
III etap → sześć możliwości
Dzięki PFC mamy, że całkowite możliwości to:
6 · 6 · 6
216
Możemy więc powiedzieć, że przykładowa przestrzeń tego wydarzenia to 216.
Zobacz, że do badania prawdopodobieństwa jest to wymagana jest podstawowa wiedza z zakresu analizy kombinatorycznej., ponieważ bez określenia przestrzeni próbnej eksperymentu nie da się rozwiązać zdecydowanej większości zadań probabilistycznych. Po więcej szczegółów o tej dziedzinie matematyki przeczytaj tekst:Prawdopodobieństwo.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Określ liczbę anagramów słowa zamek. Następnie określ liczbę anagramów zaczynających się na literę c.
Rozkład
Aby określić liczbę anagramów, musimy obliczyć permutację liczby liter w następujący sposób:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Słowo ma 5040 anagramów. Teraz, aby określić liczbę anagramów zaczynających się na literę c, musimy naprawić literę i obliczyć anagram pozostałych, zobacz:
DO__ __ __ __ __ __
Kiedy poprawimy literę c, zauważ, że pozostało sześć pól do obliczenia permutacji, tak jak to:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Mamy więc 720 anagramów słowa zamek, które zaczynają się na literę c.
pytanie 2 – W klasie jest pięciu mężczyzn i siedem kobiet. Ile można utworzyć grup składających się z trzech mężczyzn i czterech kobiet?
Rozkład
Najpierw zobacz, że kolejność, w jakiej wybieramy ludzi, nie ma znaczenia, na przykład grupa stworzona przez João, Marcos i José to ta sama grupa, którą tworzą Marcos, João i José, dlatego musimy użyć kombinacji dla obliczenie.
Obliczmy osobno liczbę grup, które mogą tworzyć mężczyźni i kobiety, oraz w Następnie pomnóżmy te wyniki, ponieważ każda grupa mężczyzn może mieszać się z każdą grupą mężczyzn. kobiety.
Mężczyźni
Razem → 5
Ilość w grupie → 3
Kobiety
Razem → 7
Ilość w grupie → 4
Dlatego łączna liczba grup, które mogą utworzyć trzech mężczyzn i cztery kobiety, wynosi:
DO5,3 · DO7,4
10 · 35
350
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
