okrąg trygonometryczny jest okręgiem o promieniu 1 przedstawionym w kartezjański samolot. W nim oś pozioma jest osią cosinusów, a oś pionowa jest osią sinusoidalną. Można go również nazwać cyklem trygonometrycznym.
Służy do prowadzenia badań stosunków trygonometrycznych. Dzięki niemu można lepiej zrozumieć główne przyczyny trygonometryczne: kąty większe niż 180º, a mianowicie: sinus, cosinus i tangens.
Przeczytaj też: 4 najczęstsze błędy w podstawowej trygonometrii
Krok po kroku, aby zbudować okrąg trygonometryczny
Aby skonstruować okrąg trygonometryczny, używamy dwóch osi, jedna pionowa i jedna pozioma, jak płaszczyzna kartezjańska. Oś pozioma jest znana jako oś cosinus, a oś pionowa jest znana jako oś sinusoidalna.
Konstruując osie, narysujmy wykres koła o promieniu 1.
Stosunki trygonometryczne w kole
Używamy koła, aby znaleźć wartość sinus, cosinus i tangens, zgodnie z wartością kąta. mieć w
na osi pionowej wartość sinus a na osi poziomej wartość cosinus, wyznaczając kąt na okręgu trygonometrycznym, można znaleźć wartość sinusa i cosinusa, analizując współrzędne punktu, w którym odcinek łączy środek okręgu i obwód, reprezentowany przez P na rysunku a podążać. Jeśli narysujemy linię styczną do okręgu w punkcie (1.0), możemy również obliczyć styczną tego kąta analitycznie zgodnie z obrazkiem:
Przeczytaj też: Czym są sieczna, cosecans i cotangens?
Radiany trygonometryczne okręgu
Wiemy, że łuk można mierzyć za pomocą dwóch różnych jednostek miary: miary w stopniach i miary w radiany. Wiemy to obwód wynosi 360º i że długość twojego łuku wynosi 2π:
Kwadranty koła trygonometrycznego
Czy to w radianach czy stopniach, możliwe jest zdefiniowanie kwadrantu, w którym znajduje się dany łuk zgodnie z jego pomiarem.
Analizując cykl, musimy:
pierwszy kwadrant: kąty mieszczące się w zakresie od 0 do 90° lub od 0 do π/2 radianów;
druga ćwiartka: kąty mieszczące się w przedziale od 90° do 180° lub w radianach π/2 i π;
trzeci kwadrant: kąty o wartości od 180º do 270º lub od π do 3 π/2 radianów;
czwarty kwadrant: kąty z zakresu od 270° do 360° lub od 3π/2 do 2π radianów.
Przeczytaj też: Charakterystyka i właściwości planu
Niezwykłe kąty w okręgu trygonometrycznym
Na początku badania trygonometria, dowiedzieliśmy się, że godne uwagi kąty to kąty 30º, 45º i 60º, które mają wartość znanego sinusa, cosinusa i tangensa. Jednak ze względu na symetrię cyklu trygonometrycznego możliwe jest znalezienie wartości sinus i cosinus dla tych kątów i kątów symetrycznych do niego w każdym z kwadrantów.
Znaki trygonometryczne okręgu
Aby zrozumieć, jaki jest znak każdego ze stosunków trygonometrycznych w cyklu, wystarczy przeanalizować wartości osi w płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zacznijmy od cosinusa. Ponieważ jest to oś pozioma, cosinus kątów zawartych na prawo od osi pionowej jest dodatni, a cosinus kątów zawartych na lewo od osi pionowej jest ujemny.
Teraz, aby zrozumieć znak sinusa kąta, po prostu pamiętaj, że oś pionowa jest osią sinusa, więc sinus kąta, który jest powyżej osi poziomej, jest dodatni; ale jeśli kąt jest poniżej osi poziomej, sinus tego kąta jest ujemny, jak pokazano na poniższym obrazku:
Wiemy to tangens to stosunek sinusa do cosinusa, następnie, aby znaleźć znak stycznej dla każdego z kwadrantów, gramy w grę znaków, która sprawia, że styczna jest dodatnia w nieparzystych kwadrantach i ujemna w parzystych kwadrantach:
Przeczytaj też: Czym są półproste, półpłaszczyznowe i półprzestrzenne?
symetria w kole
Analiza cyklu trygonometrycznego, możliwe jest skonstruowanie sposobu na zredukowanie sinusa, cosinusa i tangensa do pierwszej ćwiartki. Ta redukcja oznacza znalezienie w pierwszej ćwiartce kąta, który jest symetryczny do kąta pozostałych ćwiartek, ponieważ gdy pracujemy z kątem symetrycznym, wartość stosunków trygonometrycznych jest taka sama, zmieniając tylko jego sygnał.
Redukcja kąta z 2. ćwiartki do 1. ćwiartki
Zaczynając od kątów znajdujących się w 2. ćwiartce, musimy:
Jak wiemy, w 1. i 2. ćwiartce sinus jest dodatni. Tak więc, aby obliczyć redukcję sinusa z 2. ćwiartki do 1. ćwiartki, używamy wzoru:
grzech x= grzech (180º - x)
Cosinus i tangens w 2. ćwiartce są ujemne. Aby zmniejszyć cosinus z 2. ćwiartki do 1. ćwiartki, używamy wzoru:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Przykład:
Jaka jest wartość sinusa i cosinusa kąta 120°?
Kąt 120° to drugi kąt kwadrantu, ponieważ mieści się w zakresie od 90° do 180°. Aby zmniejszyć ten kąt do 1. ćwiartki, obliczamy:
grzech 120° = grzech (180° – 120°)
grzech 120º = grzech 60º
Kąt 60° jest niezwykłym kątem, więc jego wartość sinusoidalna jest znana, więc:
Teraz obliczmy Twój cosinus:
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Ponieważ znamy cosinus 60º, musimy:
Redukcja kąta z 3. ćwiartki do 1. ćwiartki
Podobnie jak w 2. ćwiartce, istnieje symetria pomiędzy kątami w 3. ćwiartce i kątami w 1. ćwiartce.
Sinus i cosinus w trzeciej ćwiartce są ujemne. Tak więc, aby zredukować sinus i cosinus z 3. ćwiartki do 1. ćwiartki, używamy wzoru:
grzech x = – grzech (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
Styczna w trzecim kwadrancie jest dodatnia. Aby go zmniejszyć, stosujemy formułę:
tg x = tg (x – 180º)
Przykład:
Oblicz sinus, cosinus i tangens 225º.
grzech 225º = – grzech (225º – 180º)
grzech 225º = – grzech 45º
Ponieważ 45º to niezwykły kąt, patrząc na tabelę, musimy:
Teraz, obliczając cosinus, musimy:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Wiemy, że tg45º = 1, więc:
tg 225º = 1
Redukcja kąta z 4. ćwiartki do 1. ćwiartki
Z takim samym rozumowaniem, jak w przypadku poprzednich redukcji, istnieje symetria między kwadrantem 4 i 1:
Wartości sinusa i stycznej w 4. ćwiartce są ujemne. Tak więc, aby dokonać redukcji z 4 do 1 kwadrantu, używamy wzoru:
grzech x = – grzech (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
Cosinus w czwartej ćwiartce jest dodatni. Tak więc, aby zredukować do 1. ćwiartki, wzór jest następujący:
cos x = cos (360º - x)
Przykład:
Oblicz wartość sinusa i cosinusa 330º.
Zaczynając od sinusa:
Teraz obliczamy cosinus:
Przeczytaj też: Jak obliczyć odległość między dwoma punktami w przestrzeni?
Ćwiczenia z rozwiązaniem trygonometrycznym okręgu
Pytanie 1 - Podczas badania momentu kołowego fizyk przeanalizował obiekt, który obracał się wokół siebie, tworząc kąt 15 240º. Analizując ten kąt, utworzony przez niego łuk ma postać:
A) kwadrant I.
B) kwadrant II.
C) kwadrant III.
D) kwadrant IV.
E) na szczycie jednej z osi.
Rozkład
Alternatywa B.
Wiemy, że co 360° ten obiekt zatacza okrąg wokół siebie. Podczas wykonywania podział z 15240 na 360, dowiemy się, ile pełnych obrotów ten obiekt wykonał wokół siebie, ale naszym głównym zainteresowaniem jest reszta, która reprezentuje kąt, pod którym się zatrzymał.
15.240: 360 = 42,333…
Wynik pokazuje, że wykonał wokół siebie 42 obroty, ale 360 · 42 = 15,120, więc zostawił kąt:
15.240 – 15.120 = 120º
Wiemy, że 120° to drugi kąt kwadrantu.
Pytanie 2 - Proszę ocenić następujące stwierdzenia:
I → Przy obliczaniu tg 140º wartość będzie ujemna.
II → Kąt 200° jest kątem drugiej ćwiartki.
III → Sen 130º = grzech 50º.
Zaznacz poprawną alternatywę:
A) Tylko ja jest fałszywy.
B) Tylko II jest fałszywe.
C) Tylko III jest fałszywe.
D) Wszystkie są prawdziwe.
Rozkład
Alternatywa B.
I → Prawda, ponieważ kąt 140º należy do drugiej ćwiartki, w której styczna jest zawsze ujemna.
II → Fałsz, ponieważ kąt 200º jest kątem trzeciej ćwiartki.
III → Prawda, ponieważ aby zmniejszyć kąt z 2 do 1 kwadrantu, wystarczy obliczyć różnicę 180° – x, a następnie:
grzech 130° = grzech (180° – 130°)
grzech 130. = grzech 50.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
