Podział wielomiany ma różne metody rozwiązywania. Przedstawimy trzy metody tego podziału: metodę Kartezjusza (współczynniki do wyznaczenia), metodę kluczową oraz praktyczne urządzenie Briota-Ruffini.
Czytaj więcej: Równanie wielomianowe: forma i sposób rozwiązywania
dzielenie wielomianowe
Dzieląc wielomian P (x) przez niezerowy wielomian D (x), gdzie stopień P jest większy niż D (P > re), oznacza, że musimy znaleźć wielomian Q (x) i R (x), tak aby:
Zauważ, że ten proces jest równoważny pisaniu:
P(x) → dywidenda
D(x) → dzielnik
Q (x) → iloraz
R (x) → reszta
Z właściwości wzmocnienie, musimy stopień ilorazu jest równy różnicy między stopniem dywidendy a stopniem dzielnika.
Q = P - D
Również, gdy reszta z dzielenia między P(x) i D(x) jest równa zero, mówimy, że P(x) jest podzielny przez D(x).
Zasady dzielenia wielomianowego
Metoda wyznaczania współczynników — metoda odrzuca
Aby dokonać podziału na wielomiany P (x) i D (x), o stopniu P większym niż stopień D, wykonaj następujące czynności:
Krok 1 - Określ stopień wielomianu ilorazowego Q (x);
Krok 2 - Przyjmij jak największy stopień dla pozostałej części dzielenia R(X) (Pamiętaj: R(x) = 0 lub R < re);
Krok 3 - Napisz wielomiany Q i R z dosłownymi współczynnikami, tak że P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
Przykład
Wiedząc, że P(x) = 4x3 – x2 + 2 i że D (x) = x2 + 1, określ wielomian ilorazowy i resztę.
Stopień ilorazu wynosi 1, ponieważ:
Q =P - D
Q =3 – 2
Q = 1
Zatem w wielomianu Q(x) = a·x +b, reszta R(x) jest wielomianem, którego najwyższy stopień może wynosić 1, stąd: R(x) = c·x +d. Podmieniając dane w warunku kroku 3 mamy:
Porównując współczynniki wielomianów mamy:
Stąd wielomian Q (x) = 4x-1 i R (x) = -4x + 3.
metoda cmieć
Polega na wykonaniu dzielenia między wielomianami po ten sam pomysł dzielenia dwóch liczb, telefon algorytm dzielenia. Zobacz poniższy przykład.
Ponownie rozważmy wielomiany P(x) = 4x3 – x2 + 2 i D (x) = x2 +1, a teraz podzielimy je metodą klucza.
Krok 1 - W razie potrzeby uzupełnij wielomian dywidendy o współczynniki zerowe.
P(x) = 4x3 – x2 + 0x + 2
Krok 2 - Podziel pierwszy termin dywidendy przez pierwszy termin dzielnika, a następnie pomnóż iloraz przez każdy dzielnik. Popatrz:
Krok 3 - Podziel resztę z kroku 2 przez iloraz i powtarzaj ten proces, aż stopień reszty będzie mniejszy niż stopień ilorazu.
Stąd Q (x) = 4x-1 i R (x) = -4x +3.
Również dostęp: Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
Praktyczne urządzenie BriotaRuffini
używany do podziel wielomiany przez dwumiany.
Rozważmy wielomiany: P(x) = 4x3 + 3 i D (x) = 2x + 1.
Ta metoda polega na narysowaniu dwóch segmentów, jednego poziomego i jednego pionowego, a na tych segmentach umieszczamy współczynnik dzielnika i pierwiastek wielomianu dzielnika, dodatkowo powtarza się pierwszy współczynnik. Popatrz:
Zauważ, że najmniejsza średnia jest pierwiastkiem dzielnika i że pierwszy współczynnik został podzielony.
Teraz musimy pomnożyć pierwiastek dzielnika przez powtarzający się wyraz i dodać go do następnego, zobacz:
Ostatnia liczba znaleziona w praktycznym urządzeniu to reszta, a reszta to współczynniki wielomianu ilorazowego. Musimy podzielić te liczby przez pierwszy współczynnik dzielnika, w tym przypadku przez 2. A zatem:
Aby dowiedzieć się więcej o tej metodzie dzielenia wielomianów, przejdź do: podział wielomianów za pomocą urządzenia Briota-Ruffiniini.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 (UFMG) Wielomian P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 jest podzielna przez D (x) = 3x2 - 2x. Wartość m to:
Rozwiązanie
Ponieważ wielomian P jest podzielny przez D, możemy zastosować algorytm dzielenia. A zatem,
Ponieważ podano, że wielomiany są podzielne, reszta jest równa zeru. Wkrótce,
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm
