Podział wielomianów: metody i krok po kroku

Podział wielomiany ma różne metody rozwiązywania. Przedstawimy trzy metody tego podziału: metodę Kartezjusza (współczynniki do wyznaczenia), metodę kluczową oraz praktyczne urządzenie Briota-Ruffini.

Czytaj więcej: Równanie wielomianowe: forma i sposób rozwiązywania

dzielenie wielomianowe

Dzieląc wielomian P (x) przez niezerowy wielomian D (x), gdzie stopień P jest większy niż D (_P > _re), oznacza, że ​​musimy znaleźć wielomian Q (x) i R (x), tak aby:

Zauważ, że ten proces jest równoważny pisaniu:

P(x) → dywidenda

D(x) → dzielnik

Q (x) → iloraz

R (x) → reszta

Z właściwości wzmocnienie, musimy stopień ilorazu jest równy różnicy między stopniem dywidendy a stopniem dzielnika.

_{Q = P - D}

Również, gdy reszta z dzielenia między P(x) i D(x) jest równa zero, mówimy, że P(x) jest podzielny przez D(x).

Podział wielomianów można rozwiązać różnymi metodami.

Zasady dzielenia wielomianowego

• Metoda wyznaczania współczynników — metoda odrzuca

Aby dokonać podziału na wielomiany P (x) i D (x), o stopniu P większym niż stopień D, wykonaj następujące czynności:

Krok 1 - Określ stopień wielomianu ilorazowego Q (x);

Krok 2 - Przyjmij jak największy stopień dla pozostałej części dzielenia R(X) (Pamiętaj: R(x) = 0 lub _R < _re);

Krok 3 - Napisz wielomiany Q i R z dosłownymi współczynnikami, tak że P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).

• Przykład

Wiedząc, że P(x) = 4x³ – x² + 2 i że D (x) = x² + 1, określ wielomian ilorazowy i resztę.

Stopień ilorazu wynosi 1, ponieważ:

_Q =_{P - D}

_Q =3 – 2

_Q = 1

Zatem w wielomianu Q(x) = a·x +b, reszta R(x) jest wielomianem, którego najwyższy stopień może wynosić 1, stąd: R(x) = c·x +d. Podmieniając dane w warunku kroku 3 mamy:

Porównując współczynniki wielomianów mamy:

Stąd wielomian Q (x) = 4x-1 i R (x) = -4x + 3.

• metoda cmieć

Polega na wykonaniu dzielenia między wielomianami po ten sam pomysł dzielenia dwóch liczb, telefon algorytm dzielenia. Zobacz poniższy przykład.

Ponownie rozważmy wielomiany P(x) = 4x³ – x² + 2 i D (x) = x² +1, a teraz podzielimy je metodą klucza.

Krok 1 - W razie potrzeby uzupełnij wielomian dywidendy o współczynniki zerowe.

P(x) = 4x³ – x² + 0x + 2

Krok 2 - Podziel pierwszy termin dywidendy przez pierwszy termin dzielnika, a następnie pomnóż iloraz przez każdy dzielnik. Popatrz:

Krok 3 - Podziel resztę z kroku 2 przez iloraz i powtarzaj ten proces, aż stopień reszty będzie mniejszy niż stopień ilorazu.

Stąd Q (x) = 4x-1 i R (x) = -4x +3.

Również dostęp: Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

• Praktyczne urządzenie BriotaRuffini

używany do podziel wielomiany przez dwumiany.

Rozważmy wielomiany: P(x) = 4x³ + 3 i D (x) = 2x + 1.

Ta metoda polega na narysowaniu dwóch segmentów, jednego poziomego i jednego pionowego, a na tych segmentach umieszczamy współczynnik dzielnika i pierwiastek wielomianu dzielnika, dodatkowo powtarza się pierwszy współczynnik. Popatrz:

Zauważ, że najmniejsza średnia jest pierwiastkiem dzielnika i że pierwszy współczynnik został podzielony.

Teraz musimy pomnożyć pierwiastek dzielnika przez powtarzający się wyraz i dodać go do następnego, zobacz:

Ostatnia liczba znaleziona w praktycznym urządzeniu to reszta, a reszta to współczynniki wielomianu ilorazowego. Musimy podzielić te liczby przez pierwszy współczynnik dzielnika, w tym przypadku przez 2. A zatem:

Aby dowiedzieć się więcej o tej metodzie dzielenia wielomianów, przejdź do: podział wielomianów za pomocą urządzenia Briota-Ruffiniini.

rozwiązane ćwiczenia

Pytanie 1 (UFMG) Wielomian P (x) = 3x⁵ - 3x⁴ -2x³ + mx² jest podzielna przez D (x) = 3x² - 2x. Wartość m to:

Rozwiązanie

Ponieważ wielomian P jest podzielny przez D, możemy zastosować algorytm dzielenia. A zatem,

Ponieważ podano, że wielomiany są podzielne, reszta jest równa zeru. Wkrótce,

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm