Motywacja do studiowania operacje między zestawami wynika z łatwości, jaką wnoszą do rozwiązywania codziennych problemów numerycznych. Wykorzystamy kilka narzędzi graficznych, takich jak schemat Venna-Euler, aby zdefiniować główne operacje między dwoma lub więcej zestawy, a mianowicie: suma zbiorów, przecięcie zbiorów, różnica zbiorów i zbiór dopełniający.
połączenie zbiorów
Związek między dwoma lub więcej zestawami będzie nowym zestawem złożonym z elementów należących do co najmniej jednego z omawianych zestawów. Formalnie zbiór związkowy określają:
Niech A i B będą dwoma zbiorami, związek między nimi tworzą elementy należące do zbioru A lub zbioru B.
Innymi słowy, po prostu dołącz do żywiołów A z B.
Przykład:
a) Rozważmy zbiory A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} i B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x jest liczbą naturalną parzystą} i B {y | y jest naturalną liczbą nieparzystą}
Suma wszystkich naturalnych parzystych i wszystkich naturalnych nieparzystych wyników daje cały zestaw liczb naturalnych, więc musimy:
Przecięcie zbiorów
Punkt przecięcia dwóch lub więcej zbiorów będzie również nowym zbiorem utworzonym przez elementy należące jednocześnie do wszystkich zaangażowanych zestawów. Formalnie mamy:
Niech A i B będą dwoma zbiorami, przecięcie między nimi tworzą elementy należące do zbioru A i zbioru B. Dlatego musimy wziąć pod uwagę tylko elementy, które znajdują się w obu zestawach.
Przykład
a) Rozważmy zbiory A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} i C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B ∩ C = {0}
Zestaw, który nie zawiera elementów nazywa się pusty zestaw i można to przedstawić na dwa sposoby.
Przeczytaj też: Ustaw definicję
różnica zestawów
Różnica między dwoma zestawami, A i B, jest podana przez elementy należące do A i Nie należą do B.
Na diagramie Venna-Eulera różnica między zbiorami A i B wynosi:
Przykład
Rozważmy zbiory A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} i C = {}. Określmy następujące różnice.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = { }
Zauważ, że w zestawie A – B początkowo bierzemy zestaw A i „wyjmujemy” elementy z zestawu B. W zestawie A – C bierzemy A i „wyciągamy” pustkę, czyli brak elementów. Wreszcie w C – A bierzemy pusty zestaw i „wyciągamy” z A elementy, których z kolei już nie było.
Przeczytaj też: Ważne uwagi dotyczące zestawów
Komplementarne zestawy
Rozważmy zbiory A i B, gdzie zbiór A jest zawarty w zbiorze B, to znaczy każdy element A jest również elementem B. Różnica między zbiorami B – A nazywana jest dopełnieniem A względem B. Innymi słowy, komplementarność tworzy każdy element, który nie należy do zbioru A w stosunku do zbioru B, w którym jest zawarty.
Przykład
Rozważmy zbiory A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} i B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Uzupełnieniem A w stosunku do B jest:
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Rozważmy zbiory A = {a, b, c, d, e, f} oraz B ={d, e, f, g, h, i}. Wyznacz (A – B) U (B – A).
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczymy zbiory A – B i B – A, a następnie wykonamy połączenie między nimi.
A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b,c}
B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Dlatego (A - B) U (B - A) to:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, ja}
pytanie 2 – (Vunesp) Załóżmy, że A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} i A – B = {a, b, c}, wtedy:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = { }
d) B = {d, e}
e) B = {a, b,c, d,e}
Rozwiązanie
Alternatywa b.
Układając elementy na diagramie Venna-Eulera, zgodnie ze stwierdzeniem mamy:
Zatem zbiór B = {d, e, f, g, h}.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
