Czym jest permutacja?

Permutacja jest jednym z tematów poruszanych w dyscyplinie analiza kombinatoryczna w matematyce. Mając w ręku dowolną uporządkowaną sekwencję z liczbą „n” różnych elementów, każda inna sekwencja utworzona przez te same „n” uporządkowane elementy jest nazywana permutacja.

Możemy więc powiedzieć, że jeśli A jest permutacją B, to A i B składają się z tych samych elementów, ale inaczej uporządkowanych.

Skąd pochodzą permutacje?

Permutacje to odosobnione przypadki Proste aranżacje. Są to uporządkowane grupowania zbioru A elementów, tak że grupy mają mniej lub równą liczbę elementów niż zbiór A.

Zbiór A = {X, Y, Z}, {X, Y} i {Y, X} to a prosty układ elementów z A wzięte 2 do 2. Liczba elementów A jest reprezentowana przez literę „n”. O numer zamówienia, lub numer klasy, to „k”. Ta liczba to liczba elementów w każdej prostej tablicy (w przypadku przykładu liczba ta wynosi 2).

Lista wszystkich prostych układów trzech elementów A wziętych od 3 do 3 jest następująca:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX i YXZ

Ta lista jest właśnie szczególnym przypadkiem układów, które otrzymują nazwę permutacji.

Obliczanie prostych ustaleń

Liczba prostych układów zbioru A, które mają which Nie elementy pobrane k O, można obliczyć według następującego wzoru:

TEN_{nie, ok} = Nie!
(n-k)!

Definicja permutacji

Niech A będzie zestawem z Nie odrębne elementy. ty proste aranżacje z tych elementów wziętych od n do n nazywamy proste permutacje A. Tak więc, aby była to permutacja, konieczne jest, aby numer porządkowy k być równa liczbie Nie elementów A. Wynika z tego następująca kalkulacja:

Biorąc wzór używany dla prostych tablic i numer porządkowy k = n, otrzymamy:

Jest to wzór używany do obliczenia liczby permutacji elementów zbioru A, zwykle oznaczany przez P_Nie. Wkrótce:

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

P_Nie = A_{nie? Nie} = n!

P_Nie = n!

Przykład

Oblicz liczbę permutacji liter słowa MIŁOŚĆ.

Rozwiązanie:

Zauważ, że słowo MIŁOŚĆ ma 4 różne elementy. Aby obliczyć liczbę permutacji tego słowa, użyjemy powyższego wzoru:

P_Nie = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Dzięki temu możliwe jest utworzenie 24 różnych permutacji liter słowa MIŁOŚĆ. Permutacje słów są również nazywane anagramy.

Permutacje z powtarzającymi się elementami

Każdy zestaw może mieć powtarzające się elementy. W permutacje zbiór ten powinien uwzględniać powtarzanie się tych elementów, ponieważ kolejność, w jakiej się pojawiają, nie ma znaczenia, w przeciwieństwie do kolejności innych elementów w zbiorze. Jeśli zmienimy tylko dwie „A” miejsca w słowie AMAR, otrzymamy to samo słowo. Takie same słowa nie są permutacje, dlatego to powtórzenie należy odjąć we wzorze na permutacje.

Aby odjąć wszystkie możliwe powtórzenia elementów w jednym permutacja z powtarzającymi się elementami, musimy wykonać następujące czynności:

Niech A będzie zestawem z Nie elementy, w tym k elementy się powtarzają. Wzór na obliczenie permutacji A to:

P_Nie^k = Nie!
k!

Jeśli zestaw A, z Nie elementy, posiadać, k powtórzenia elementu i jot powtórzenia innego, obliczenie nastąpi w następujący sposób:

P_Nie^{ha ha} =  Nie!
k!·j!

Jeśli zestaw A, z Nie elementy, ma k powtórzenia elementu, jot powtórzenia innego, …, m powtórzenia innego, formuła przyjmuje następującą postać:

P_Nie^{k, j,...,m} =  Nie!
k!·j!·... ·m!

Przykład

Oblicz liczbę anagramów słowa ANTONIA.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać ten przykład, po prostu oblicz permutacje z powtarzającymi się elementami słowa ANTONIA. Zarówno litera A, jak i litera N powtarzają się 2 razy. Zegarek:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę