Równania trygonometryczne to równości, które obejmują funkcje trygonometryczne nieznanych łuków. Rozwiązywanie tych równań jest unikalnym procesem, który wykorzystuje techniki redukcji do prostszych równań. Omówmy pojęcia i definicje równań w postaci cosx = a.
Równania trygonometryczne w postaci cosx = α mają rozwiązania w przedziale –1 ≤ x ≤ 1. Wyznaczenie wartości x, które spełniają tego typu równanie, będzie miało następującą właściwość: Jeśli dwa łuki mają równe cosinusy, to są one przystające lub komplementarne..
Niech x = α będzie rozwiązaniem równania cos x = α. Innymi możliwymi rozwiązaniami są łuki przystające do łuku α lub do łuku – α (lub do łuku 2π – α). A więc: cos x = cos α. Zwróć uwagę na reprezentację w cyklu trygonometrycznym:
Doszliśmy do wniosku, że:
x = α + 2kπ, gdzie k Є Z lub x = – α + 2kπ, gdzie k Є Z
Przykład 1
Rozwiąż równanie: cos x = √ 2/2.
Z tabeli stosunków trygonometrycznych que2/2 odpowiada kątowi 45º. Następnie:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Zatem równanie cosx = √2/2 ma jako rozwiązanie wszystkie łuki przystające do łuku π/4 lub –π/4 lub nawet 2π – π/4 = 7π/4. Zwróć uwagę na ilustrację:
Dochodzimy do wniosku, że możliwe rozwiązania równania cos x = √2/2 to:
x = π/4 + 2kπ, przy k Z lub x = – π/4 + 2kπ, przy k Є Z
Przykład 2
Rozwiąż równanie: cos 3x = cos x
Gdy łuki 3x i x są przystające:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Gdy łuki 3x i x są komplementarne:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
Rozwiązanie równania cos 3x = cos x is {x Є R / x = kπ lub x = kπ/2, gdzie k Z}.
przez Marka Noah
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
