Faktoring to proces stosowany w matematyce, który polega na przedstawianiu liczby lub wyrażenia jako iloczynu czynników.
Pisząc wielomian jak mnożenie innych wielomianów, często możemy uprościć wyrażenie.
Sprawdź poniżej rodzaje faktoryzacji wielomianowej:
Wspólny czynnik w dowodach
Używamy tego typu faktoryzacji, gdy istnieje czynnik, który powtarza się we wszystkich terminach wielomianu.
Ten czynnik, który może zawierać cyfry i litery, zostanie umieszczony przed nawiasami.
Wewnątrz nawiasów będzie wynik dzielenia każdego wyrazu wielomianu przez wspólny czynnik.
W praktyce wykonajmy następujące kroki:
1º) Określ, czy istnieje liczba, która dzieli wszystkie współczynniki wielomianu i litery, które powtarzają się we wszystkich terminach.
2º) Umieść wspólne czynniki (liczba i litery) przed nawiasami (jako dowód).
3.) Umieść w nawiasach wynik dzielenia każdego czynnika wielomianu przez czynnik, który jest dowodem. W przypadku listów stosujemy zasadę podziału władz tej samej bazy.
Przykłady
a) Jaka jest rozłożona na czynniki postać wielomianu 12x + 6y - 9z?
Najpierw identyfikujemy, że liczba 3 dzieli wszystkie współczynniki i nie ma powtarzającej się litery.
Wstawiamy cyfrę 3 przed nawiasami, dzielimy wszystkie wyrazy przez trzy i wynik umieszczamy w nawiasach:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Czynnik 2a2b + 3a3c - a4.
Ponieważ nie ma liczby, która dzieli jednocześnie 2, 3 i 1, nie będziemy umieszczać żadnej liczby przed nawiasami.
Litera powtarza się pod każdym względem. Wspólnym czynnikiem będzie 2, który jest najmniejszym wykładnikiem w wyrazie.
Każdy wyraz wielomianu dzielimy przez 2:
2.2 b:2 = 2.2 - 2 b = 2b
3rd3c:2 = 3.3 - 2 c = 3ac
4: a2 =2
Kładziemy 2 przed nawiasami i wyniki podziałów w nawiasach:
2.2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
grupowanie
W wielomianu, który nie istnieje, czynnik powtarzający się we wszystkich terminach, możemy użyć faktoryzacji przez grupowanie.
W tym celu musimy zidentyfikować terminy, które można pogrupować według wspólnych czynników.
W tego typu rozkładaniu na czynniki stawiamy wspólne czynniki grupowań.
Przykład
Rozkład wielomianu na czynniki mx + 3nx + my + 3ny
Warunki mx i 3nx ma jako wspólny czynnik x. już warunki mój i 3 lata mają jako wspólny czynnik tak.
Przedstawienie tych czynników w dowodach:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Zauważ, że (m + 3n) powtarza się teraz również w obu terminach.
Ujmując to ponownie, znajdujemy rozłożony na czynniki kształt wielomianu:
mx + 3nx + mój + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Idealny trójmian kwadratowy
Trójmiany to wielomiany z 3 wyrazami.
Idealne trójmiany kwadratowe a2 + 2ab + b2 i2 - 2ab + b2 wynik z niezwykłego produktu typu (a + b)2 oraz (a-b)2.
Zatem faktoryzacja idealnego trójmianu kwadratowego będzie wynosić:
2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kwadrat sumy dwóch terminów)
2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kwadrat różnicy dwóch terminów)
Aby dowiedzieć się, czy trójmian rzeczywiście jest idealnym kwadratem, wykonujemy następujące czynności:
1º) Oblicz pierwiastek kwadratowy z terminów, które pojawiają się do kwadratu.
2) Pomnóż znalezione wartości przez 2.
3) Porównaj znalezioną wartość z terminem, który nie ma kwadratów. Jeśli są równe, jest to kwadrat idealny.
Przykłady
a) Rozkład wielomianu na czynniki x2 + 6x + 9
Najpierw musimy sprawdzić, czy wielomian jest idealnym kwadratem.
x2 = x i √9 = 3
Mnożąc przez 2, otrzymujemy: 2. 3. x = 6x
Ponieważ znaleziona wartość jest równa członowi, który nie jest podniesiony do kwadratu, wielomian jest idealnie do kwadratu.
Zatem faktoryzacja będzie wynosić:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Rozkład wielomianu na czynniki x2 - 8xy + 9y2
Testowanie, czy jest to idealny trójmian kwadratowy:
x2 = x i √9y2 = 3 lata
Mnożenie: 2. x. 3 lata = 6xy
Znaleziona wartość nie odpowiada członowi wielomianu (8xy ≠ 6xy).
Ponieważ nie jest to idealny trójmian kwadratowy, nie możemy użyć tego typu rozkładu na czynniki.
Różnica dwóch kwadratów
Rozkładanie na czynniki wielomianów typu a2 - B2 używamy niezwykłego iloczynu sumy i różnicy.
Zatem faktoryzacja wielomianów tego typu będzie wynosić:
2 - B2 = (a + b). (a-b)
Aby rozłożyć na czynniki, musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z dwóch składników.
Następnie wpisz iloczyn sumy znalezionych wartości i różnicy między tymi wartościami.
Przykład
Rozkład na czynniki dwumianu 9x2 - 25.
Najpierw znajdź pierwiastek kwadratowy z terminów:
√9x2 = 3x i √25 = 5
Zapisz te wartości jako iloczyn sumy i różnicy:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
idealna kostka
wielomiany a3 + 3 miejsce2b+3ab2 + b3 i3 - 3.2b+3ab2 - B3 wynik z niezwykłego produktu typu (a + b)3 lub (a - b)3.
Zatem czynnikowy kształt idealnej sześcianu to:
3 + 3 miejsce2b+3ab2 + b3 = (a + b)3
3 - 3.2b+3ab2 - B3 = (a - b)3
Aby wykluczyć wielomiany tego typu, musimy obliczyć pierwiastek sześcienny wyrazów do sześcianu.
Następnie konieczne jest potwierdzenie, że wielomian jest idealnym sześcianem.
Jeśli tak, to sumujemy lub odejmujemy wartości znalezionych pierwiastków sześciennych.
Przykłady
a) Rozkład wielomianu na czynniki x3 + 6x2 + 12x + 8
Najpierw obliczmy pierwiastek sześcienny terminów w sześcianie:
3x3 = x i 3√ 8 = 2
Następnie potwierdź, czy to idealna kostka:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Ponieważ znalezione terminy są takie same jak terminy w wielomianu, jest to sześcian doskonały.
Zatem faktoryzacja będzie wynosić:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Rozkład wielomianu na czynniki a3 - 9.2 + 27. - 27.
Najpierw obliczmy pierwiastek sześcienny terminów w sześcianie:
3do3 = a i 3√ - 27 = - 3
Następnie potwierdź, czy to idealna kostka:
3.2. (-3) = - 9.2
3.. (- 3)2 = 27.
Ponieważ znalezione terminy są takie same jak terminy w wielomianu, jest to sześcian doskonały.
Zatem faktoryzacja będzie wynosić:
3 - 9.2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Przeczytaj też:
- Wzmocnienie
- Wielomiany
- Funkcja wielomianu
- liczby pierwsze
Rozwiązane ćwiczenia
Rozkład następujących wielomianów:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 -2
e) 9.2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2 lata - 5z)
b) 6n. (x-y)
c) (x-2c). (4 + m)
d) (7+a). (7-a)
e) (3. + 2)2
Zobacz też:
- Wyrażenia algebraiczne
- Ćwiczenia z wyrażeń algebraicznych
- Wybitne produkty
- Wybitne produkty - ćwiczenia
