TEN funkcja wykładnicza występuje, gdy w swoim prawie tworzenia zmienna znajduje się w wykładniku, z dziedziną i przeciwdziedziną w liczby rzeczywiste. Dziedziną funkcji wykładniczej są liczby rzeczywiste, a dziedziną licznika są niezerowe dodatnie liczby rzeczywiste. Twoje prawo szkoleniowe można opisać przez f(x) =x, na czym? jest dodatnią liczbą rzeczywistą inną niż 1.
O graficzny funkcji wykładniczej zawsze będzie znajdować się w pierwszej i drugiej ćwiartce płaszczyzny kartezjańskiej i może rosnąć, gdy jest liczbą większą niż 1 lub malejącą, gdy jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1. TEN funkcja odwrotna funkcji wykładniczej jest funkcja logarytmiczna, co sprawia, że wykresy tych funkcji są zawsze symetryczne.
Przeczytaj też: Czym jest funkcja?
Co to jest funkcja wykładnicza?
Jak sama nazwa wskazuje, termin wykładniczy jest powiązany z wykładnikiem. Zatem definicja funkcji wykładniczej to a funkcja, której domena jest zbiorem liczb rzeczywistych, a przeciwdziedziną jest zbiór niezerowych dodatnich liczb rzeczywistych.
, opisany przez : ℝ → ℝ*+. Jego prawo powstawania jest opisane równaniem f(x) = x, na czym? jest to dowolna liczba rzeczywista, dodatnia, a nie zerowa, z nazwą podstawową.Przykłady:
W prawie formacji f(x) można również opisać jako y i, podobnie jak w innych funkcjach, jest znana jako zmienna zależna, ponieważ jej wartość zależy od x, który jest znany jako zmienna. niezależny.
Wykładnicze typy funkcji
Funkcje wykładnicze można podzielić na dwa odrębne przypadki. Biorąc pod uwagę zachowanie funkcji, może to być: rosnąco lub malejąco.
Funkcja wykładnicza nazywana jest rosnącą, jeśli wraz ze wzrostem wartości x wzrasta również wartość f(x). Dzieje się tak, gdy podstawa jest większa niż 1, czyli: > 1.
Przykład:
Funkcja wykładnicza jest uważana za malejącą, jeśli wraz ze wzrostem wartości x wartość f(x) maleje. Dzieje się tak, gdy podstawą jest liczba z zakresu od 0 do 1, czyli 0 < < 1.
Przykład:
Przeczytaj też: Różnice między funkcją a równaniem
Wykres funkcji wykładniczej
Aby narysować graficzną reprezentację funkcji wykładniczej, konieczne jest znalezienie obrazu dla niektórych wartości dziedzinowych. Wykres funkcji wykładniczej charakteryzuje się wzrostem znacznie większym niż funkcje liniowe, jeśli rośnie, lub większy spadek, gdy maleje.
Przykłady:
a) Zbuduj wykres funkcji: f (x) = 2x.
Od >1, to funkcja ta rośnie. Aby zbudować wykres, przypiszmy kilka wartości do x, jak pokazano w poniższej tabeli:
Teraz, gdy znamy kilka punktów funkcji, można je zaznaczyć w kartezjański samolot i wykreśl krzywą funkcji wykładniczej.
b) Zbuduj wykres funkcji:
W tym przypadku funkcja malejąco, ponieważ podstawą jest liczba z zakresu od 0 do 1, to wykres będzie malejąco.
Po znalezieniu pewnych wartości liczbowych można przedstawić na płaszczyźnie kartezjańskiej wykres funkcji:
Właściwości funkcji wykładniczej
→ 1. nieruchomość
W dowolnej funkcji wykładniczej, niezależnie od jej wartości bazowej The, Musimyf (0) = 1. W końcu wiemy, że to jest właściwość potencji, czyli każda liczba podniesiona do 0 to 1. Oznacza to, że wykres za każdym razem przetnie oś pionową w punkcie (0.1).
→ 2. nieruchomość
Funkcja wykładnicza to wtryskiwacz. Dane x1 i x2 tak, że x1 x2, więc obrazy też będą inne, czyli f(x1) ≠ f(x2), co oznacza, że dla każdej wartości obrazu istnieje jedna wartość w domenie, która odpowiada temu obrazowi.
Bycie iniektywnym oznacza, że dla wartości innych niż y będzie pojedyncza wartość x, która sprawi, że f(x) będzie równe y.
→ 3. nieruchomość
Możliwe jest poznanie zachowania funkcji zgodnie z jej wartością bazową. Wykres będzie rósł, jeśli podstawa będzie większa niż 1 ( > 1) i maleje, jeśli podstawa jest mniejsza niż 1 i mniejsza niż 0 (0 < do < 1).
→ 4. nieruchomość
O wykres funkcji wykładniczej znajduje się zawsze w 1. i 2. kwadrancie, ponieważ przeciwdziedziną funkcji są niezerowe dodatnie liczby rzeczywiste.
Przeczytaj też: Jak narysować funkcję?
Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
Ponieważ funkcja wykładnicza jest funkcją, która dopuszcza odwrotność, to porównanie funkcji wykładniczej i funkcji logarytmicznej jest nieuniknione. okazuje się, że funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do wykładniczego. Wykresy tych funkcji są symetryczne względem dwusiecznej osi x. Bycie funkcją odwrotną oznacza, że funkcja logarytmiczna działa przeciwnie do funkcji wykładniczej, czyli w funkcji wykładniczej, jeśli f (x) = y, to funkcja logarytmiczna, będąc odwrotna, będzie oznaczona przez f-1 f-1 (y) = x.
Ćwiczenia rozwiązane
(Enem 2015) Związek pracowników firmy sugeruje, że dolna granica pensji w klasie wynosi 1800,00 reali, proponując stałą procentową podwyżkę za każdy rok poświęcony na pracę. Wyrażenie, które odpowiada propozycji wynagrodzenia (s), w funkcji stażu pracy (t), w latach, to s (t) = 1800·(1,03)t.
Zgodnie z propozycją związku, pensja fachowca z tej firmy ze stażem 2 lat będzie realnie wynosić
a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3709,62
d) 3 708,00
e) 1909,62
Rozkład:
Chcemy obliczyć obraz funkcji, gdy t = 2, czyli s(2). Podstawiając t = 2 we wzorze, stwierdzimy, że:
s (2) = 1800 · (1,03)²
s(2) = 1800 · 1,0609
s(2) = 1909,62
Alternatywne E
2) (Enem 2015) Dodawanie technologii w przemysłowym systemie produkcyjnym ma na celu obniżenie kosztów i zwiększenie produktywności. W pierwszym roku działalności przemysł wyprodukował 8000 sztuk określonego produktu. W następnym roku zainwestowała w technologię, pozyskała nowe maszyny i zwiększyła produkcję o 50%. Szacuje się, że ten procentowy wzrost będzie się powtarzał w najbliższych latach, gwarantując roczny wzrost o 50%. Niech P będzie roczną ilością produktów wytworzonych w roku t funkcjonowania przemysłu.
Jeśli osiągnięto oszacowanie, jakie jest wyrażenie określające liczbę wyprodukowanych jednostek? Pw funkcji t, dla t ≥ 1?
) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
B)P(t) = 50 · t -1 + 8000
do)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
re)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
i)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Rozkład:
Zauważ, że istnieje związek między rokiem t i ilość określonego produktu str. Wiedząc, że co roku następuje wzrost o 50%, oznacza to, że porównując produkcję roku przed i po, wartość drugiego odpowiada 150%, co odpowiada 1,5. Wiedząc, że początkowa produkcja to 8000 i że w pierwszym roku była to produkcja, możemy tę sytuację opisać następująco:
W pierwszym roku, to znaczy, jeśli t = 1 → s (t) = 8 000.
W drugim roku, jeśli t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
W trzecim roku, jeśli t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Po t latach będziemy mieli P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
Alternatywne E
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm
