Systemy liniowe: czym są, jak rozwiązać, typy,

Rozwiązać systemyliniowy jest to bardzo powtarzające się zadanie na studiach z zakresu nauk przyrodniczych i matematyki. Poszukiwanie nieznanych wartości doprowadziło do opracowania metod rozwiązywania układów liniowych, takich jak metoda dodawania, równości i podstawienia dla układów, które mają dwa równania i dwie niewiadomeoraz reguła i skalowanie Cramera, które rozwiązują układy liniowe z dwoma równaniami, ale które są wygodniejsze dla układów z większą liczbą równań. Układ liniowy to zestaw dwóch lub więcej równań z jedną lub większą liczbą niewiadomych.

Przeczytaj też:Jaki jest związek między macierzami a układami liniowymi?

Systemy liniowe.

równanie liniowe

Praca z równaniami istnieje dzięki trzeba znaleźć nieznane nieznane wartości. Nazywamy to równaniem, gdy mamy wyrażenie algebraiczne z równością i jest klasyfikowane jako liniowe, gdy największy wykładnik jego niewiadomych wynosi 1, jak pokazano w następujących przykładach:

2x + y = 7 → równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

a + 4 = -3 → równanie liniowe z jedną niewiadomą

Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe można opisać wzorem:

₁x₁ +₂x₂ + a3x3... + a_Niex_Nie = c

Znamy jako układ równań, gdy istnieje więcej niż jedno równanie liniowe. Zaczniemy od układów liniowych dwóch niewiadomych.

Rozwiązywanie układów liniowych

• Układy liniowe z dwoma równaniami pierwszego stopnia i dwiema niewiadomymi

Aby rozwiązać układ dwóch równań i dwóch niewiadomych, istnieje kilka metody, trzy najbardziej znane to:

• metoda porównawcza
• metoda dodawania
• metoda substytucji

Każdy z trzech może rozwiązać układ liniowy dwóch równań i dwóch niewiadomych. Te metody nie są tak wydajne w przypadku układów z większą liczbą równań, ponieważ istnieją inne konkretne metody ich rozwiązania.

• Metoda wymiany

Metoda wymiany składa się z wyizolować jedną z niewiadomych w jednym z równań i wykonaj podstawienie w drugim równaniu.

Przykład:

I krok: wyizolować jedną z niewiadomych.

Nazywamy I równaniem pierwszym, a II równaniem drugim. Analizując te dwa, spójrzmy wybierz niewiadomą, którą najłatwiej wyizolować. Zauważ, że w równanie I → x + 2y = 5, x nie ma współczynnika, co ułatwia wyodrębnienie, więc przepiszemy równanie, które lubię tak:

ja → x + 2y = 5

ja → x = 5 - 2y

Drugi krok: zastąpić I w II.

Teraz, gdy mamy równanie I z samym x, w równaniu II możemy zastąpić x przez 5 – 2y.

II → 3x – 5 lat = 4

Zamiana x na 5 - 2 lata:

3 (5 - 2 lata) - 5 lat = 4

Teraz, gdy równanie ma tylko jedną niewiadomą, można je rozwiązać, aby znaleźć wartość y.

Znając wartość y, znajdziemy wartość x zastępując wartość y w równaniu I.

ja → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Zatem rozwiązaniem układu jest S = {3,1}.

• Metoda porównawcza

Metoda porównawcza składa się z wyizoluj nieznaną w dwóch równaniach i wyrównaj te wartości.

Przykład:

I krok: niech ja będę pierwszym równaniem, a II drugim, wyizolujmy jedną z niewiadomych w I i II. Decydując się na wyizolowanie nieznanego x, musimy:

Drugi krok: zrównaj dwa nowe równania, ponieważ x = x.

Trzeci krok: zamień wartość y na -2 w jednym z równań.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Zatem rozwiązaniem tego systemu jest zbiór S = {2,-2}.

Zobacz też: Jakie są różnice między funkcją a równaniem?

• metoda dodawania

Metoda dodawania polega na wykonaniu mnożenia wszystkich wyrazów jednego z równań w taki sposób, że gdy dodając równanie I do równania II, jedna z jego niewiadomych jest równa zeru.

Przykład:

I krok: pomnóż jedno z równań, aby współczynniki były przeciwne.

Zauważ, że jeśli pomnożymy równanie II przez 2, otrzymamy 4y w równaniu II i -4y w równaniu I, i to przez dodajemy I + II, otrzymujemy 0y, więc pomnóżmy wszystkie wyrazy w równaniu II przez 2, aby to zdarzyć.

I → 5x – 4 lata = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

Drugi krok: wykonać sumę I + 2 · II.

Trzeci krok: zamień wartość x = 3 na jedno z równań.

• Układy liniowe z trzema równaniami pierwszego stopnia i trzema niewiadomymi

Gdy system ma trzy niewiadome, przyjmujemy inne metody rozwiązywania. Wszystkie te metody wiążą współczynniki z macierzami, a najczęściej używanymi metodami są reguła Cramera lub skalowanie. Dla rozdzielczości w obu metodach konieczna jest macierzowa reprezentacja układu, nawet układ 2x2 może być reprezentowany za pomocą macierzy. Istnieją dwie możliwe reprezentacje, pełna macierz i niepełna macierz:

Przykład:

System 

Może być reprezentowany przez pełna matryca

I dla niekompletna macierz

• Zasada Cramera

Aby znaleźć rozwiązania dla układu 3x3, z niewiadomymi x, y i z, używając Zasada Cramera, konieczne jest obliczenie wyznacznika niepełnej macierzy i jej zmienności. Więc musimy:

D → wyznacznik niepełnej macierzy układu.

re_x → wyznacznik niepełnej macierzy układu, zastępując kolumnę x kolumną wyrazów niezależnych.

re_tak → wyznacznik niepełnej macierzy układu, zastępując kolumnę y kolumną wyrazów niezależnych.

re_z → wyznacznik niepełnej macierzy układu, zastępując kolumnę z kolumną wyrazów niezależnych.

Tak więc, aby znaleźć wartość twoich niewiadomych, najpierw musimy obliczyć wyznacznik D, D_x, D_tak związane z systemem.

Przykład:

I krok: obliczyć D.

Drugi krok: obliczyć D_x.

Trzeci krok: wtedy możemy znaleźć wartość x, ponieważ:

4 krok: obliczyć D_tak.

5 krok: wtedy możemy obliczyć wartość y:

6 krok: teraz, gdy znamy wartość x i y, w obu wierszach możemy znaleźć wartość z, podstawiając wartości x i y i wyodrębniając z. Inną opcją jest obliczenie D_z.

Podstawiając x = 0 i y = 2 w pierwszym równaniu:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Dlatego rozwiązaniem systemowym jest przetarg (0,2,-1).

Również dostęp: Rozwiązywanie problemów za pomocą układów równań

• skalowanie

Inną metodą rozwiązywania układów liniowych jest skalowanie, w którym wykorzystujemy tylko pełną macierz i operacje między prostymi w celu wyizolowania ich niewiadomych. Przeskalujmy system poniżej.

I krok: napisz pełną macierz reprezentującą system.

być L₁, L₂ i ja₃ odpowiednio wiersze 1, 2 i 3 macierzy, wykonamy operacje pomiędzy L₁ i ja₂ i ja₁ i ja₃, tak aby w wyniku warunki znajdujące się w pierwszej kolumnie drugiego i trzeciego wiersza były równe zero.

Analizując drugi wiersz macierzy, zastąpmy go wynikiem L2 → -2 · L1 + L2, aby wyzerować wyraz a21.

₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Więc L₂ będzie 0 -3 7 -17.

Analizując trzeci wiersz macierzy, zastąpmy go wynikiem L3 → 3L1 + L_2, w celu zresetowania terminu do_31.

₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Więc L₃ będzie 0 8 -8 24.

Zauważ, że wszystkie są podzielne przez 8, więc linia L₃ zachowaj prostotę, podzielmy to przez 8.

L₃ → L₃ : 8 będzie: 0 1-1 3.

Zatem nowa macierz skalowanego równania będzie wyglądać następująco:

Teraz celem jest zresetowanie kolumny y w trzecim wierszu, wykonamy operacje między L₂ i ja₃, w celu zresetowania drugiej kolumny jednego z nich.

Zamienimy L3 na L3 → L₂ + 3L₃.

₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Więc L₃ będzie: 0 0 4 -8.

Nowa skalowana macierz będzie:

Teraz, gdy ponownie przedstawimy tę macierz jako system, dodając do kolumn x, y i z, otrzymamy:

Możemy wtedy znaleźć wartość każdej z niewiadomych. Analizując równanie III, musimy:

Jeśli z = -2, podstawmy wartość z do drugiego równania:

Na koniec w pierwszym równaniu podstawmy wartości y i z, aby znaleźć wartość x.

Zobacz też: System nierówności I stopnia – jak go rozwiązać?

liniowa klasyfikacja systemu

Układ liniowy to zbiór równań liniowych, które mogą mieć kilka niewiadomych i kilka równań. Istnieje kilka metod jego rozwiązania, niezależnie od liczby równań. znajdują się trzy oceny dla systemu liniowego.

• Określony możliwy system (SPD): kiedy masz jedno rozwiązanie.
• Nieokreślony możliwy system (SPI): kiedy ma nieskończone rozwiązania.
• niemożliwy system(SI): kiedy nie ma rozwiązania.

rozwiązane ćwiczenia

Pytanie 1 (IFG 2019) Rozważ sumę wymiarów podstawy i wysokości względem podstawy trójkąta równą 168 cm i różnicy równej 24 cm. Prawidłowe jest stwierdzenie, że wymiary podstawy i wysokość względem tej miary podstawy odpowiednio:

a) 72 cm i 96 cm

b) 144 cm i 24 cm

c) 96 cm i 72 cm

d) 24 cm i 144 cm

Rozkład

Alternatywa C.

Niech h → wysokość i b → podstawa, wtedy mamy następujący układ:

Metodą dodawania musimy:

Aby znaleźć wartość h, podstawmy b = 96 cm do pierwszego równania:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

pytanie 2 Niepełna macierz reprezentująca następujący układ liniowy to:

Rozkład

Alternatywa C.

Niepełna macierz to taka, która ma współczynniki x, y i z, więc będzie to macierz 3x3. Analizując alternatywy, ta, która zawiera macierz 3x3 z poprawnymi znakami, to litera C.

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm