TEN prosta kombinacja jest jednym z ugrupowań badanych w analiza kombinatoryczna. Znamy jako kombinację liczbę wszystkie podzbiory k elementy, które możemy uformować ze zbioru Nie elementy.
Dość często zdarzają się sytuacje, w których używamy kombinacji, na przykład, aby obliczyć wszystkie wyniki możliwe w grach loteryjnych lub pokerowych oraz w innych sytuacjach, takich jak badanie prawdopodobieństwa i Statystyczny.
Innym bardzo powszechnym ugrupowaniem jest aranżacja. To, co odróżnia układ od zestawienia, to fakt, że w układaniu ważna jest kolejność elementów, a w zestawieniu kolejność nie ma znaczenia. Dlatego porównujemy kombinację z wyborem podzbiorów.
Przeczytaj też: Podstawowa zasada liczenia - stosowana do kwantyfikacji możliwości
Czym jest prosta kombinacja?
W analizie kombinatorycznej badana jest liczba możliwych klastrów. Wśród tych grup znajduje się tak zwana kombinacja prosta. Prosta kombinacja to nic innego jak liczba wszystkich podzbiorów z k elementy danego zbioru, na przykład: megassena, w której losuje się 6 liczb.
W tym przypadku widać, że kolejność, w jakiej wybrano te 6 liczb, nie ma znaczenia, czyli kolejność nie ma znaczenia, co sprawia, że ten wynik jest podzbiorem. Ta cecha ma podstawowe znaczenie dla zrozumienia, czym jest kombinacja i odróżnienia jej od innych grup — w kombinacji kolejność elementów zestawu nie ma znaczenia.
prosta formuła kombinacji
Problemy z kombinacją są obliczane według wzoru. połączenie Nie elementy zaczerpnięte z k w k é:
n → suma elementów w zbiorze
k → suma elementów w podzbiorze
Zobacz też: Zasada liczenia addytywnego - połączenie elementów dwóch lub więcej zbiorów
Jak obliczyć kombinację?
Na pierwszym miejscu, ważne jest, aby wiedzieć, kiedy problem jest kombinacją. Aby zilustrować, znajdź wszystkie możliwe kombinacje zestaw {A, B, C, D} z dwoma elementami:
Lista kombinacji z dwoma elementami to: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} i {C, D}. W tym przypadku widać, że jest 6 możliwych kombinacji, warto też zauważyć, że podzbiory {A, B} i {B, A} są równe, ponieważ w kombinacji kolejność nie jest istotna .
Okazuje się, że nie zawsze można wymienić wszystkie możliwe kombinacje, a nawet nie jest to konieczne, ponieważ największe zainteresowanie budzi liczba kombinacji a nie w spisie każdego z nich. W tym celu bardzo praktyczne jest użycie formuły.
Przykład:
Szkoła wylosuje trzy bilety, po jednym dla każdego ucznia, spośród 10 najlepszych olimpiad matematycznych. Po ukończeniu testu i poznaniu 10 najlepszych miejsc, oblicz możliwe kombinacje dla wyniku losowania.
Zauważ, że w wyniku losowania kolejność nie jest ważna, więc pracujemy z problemem kombinacji.
Następnie obliczymy kombinację 10 elementów pobranych z 3 z 3. Podstawiając w formule musimy:
Przeprowadźmy teraz uproszczenie silni. W tym momencie konieczne jest opanowanie obliczania Factorial liczby. Jak 10! jest większa niż którakolwiek z silni w mianowniku, a patrząc na mianownik, 7! jest największa, zróbmy pomnożenie 10 przez poprzedników aż do osiągnięcia 7!, żeby można było uprościć.
Trójkąt Pascala
Jeden z instrumentów szeroko stosowanych w analizie kombinatorycznej, głównie do obliczania a Dwumian Newtona, to trójkąt Pascala. Ten trójkąt to zbudowany z wyników kombinacji, inny sposób przedstawienia kombinacji dwóch liczb jest następujący:
Trójkąt Pascala zaczyna się od wiersza 0 i kolumny 0, łącząc 0 elementów pobranych od 0 do 0. Linie są takie same jak Nie, a kolumny równe k, tworząc następujący rysunek:
Podstawiając wartości wynikające z kombinacji:
Poprzez wiersze i kolumny trójkąta Pascala możemy znaleźć wartość żądanej kombinacji. W razie potrzeby możemy znaleźć terminy z tylu wierszy, ile potrzeba. Aby dowiedzieć się więcej o tej metodzie rozwiązywania, przeczytaj tekst: Trójkąt Pascala.
Różnica między aranżacją a kombinacją
Aranżacja i kombinacja to dwie równie ważne grupy badane w analizie kombinatorycznej. Istotne jest, aby znać różnicę między każdą z tych grup, to znaczy, jeśli zamierzamy je obliczyć przez a układ lub jeden połączenie.
Okazuje się, że w połączenie, przy składaniu klastrów, kolejność elementów zestawu nie ma znaczenia., czyli {A, B} = {B, A}, ale zdarzają się przypadki, w których kolejność jest istotna w grupowaniu, w tym przypadku pracujemy z tablicą.
Na układ, następnie, kolejność elementów jest inna, czyli {A, B} ≠ {B, A}, przykładem bardzo powszechnego układu byłoby obliczenie na ile różnych sposobów możemy ustawić podium w danej konkurencji między 10 osobami. Zauważ, że w tym przykładzie kolejność jest ważna, co sprawia, że można ją rozwiązać za pomocą formuły aranżacji. Oprócz definicji teoretycznej wzory są różne, a formuła aranżacji é:
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 – (Enem) Dwanaście drużyn zgłosiło się do amatorskiego turnieju piłki nożnej. Mecz otwarcia turnieju został wybrany następująco: najpierw wylosowano 4 drużyny tworzące grupę A. Następnie spośród drużyn z grupy A wylosowano 2 drużyny do rozegrania meczu otwarcia turnieju, z których pierwsza grałaby na własnym boisku, a druga byłaby drużyną gości. Całkowitą liczbę możliwych typów dla grupy A i całkowitą liczbę typów dla drużyn w meczu otwarcia można obliczyć za pomocą
A) odpowiednio kombinacja i układ.
B) odpowiednio układ i kombinację.
C) odpowiednio układ i permutacja.
D) dwie kombinacje.
E) dwa ustalenia.
Rozkład
Alternatywa A
Aby odróżnić układ i kombinację, należy przeanalizować, czy porządek ma znaczenie w grupowaniu, czy nie. Zwróć uwagę, że w pierwszym zgrupowaniu kolejność nie ma znaczenia, ponieważ Grupę A tworzą 4 drużyny wylosowane niezależnie od kolejności, czyli najpierw jest kombinacja.
Analizując drugie zgrupowanie, można zauważyć, że kolejność w nim ma znaczenie, gdyż pierwsza wylosowana drużyna będzie miała dowodzenie w terenie, co czyni to zgrupowanie układem.
W ten sposób zamówienie jest kombinacją i aranżacją.
Pytanie 2 - Rodzina składająca się z 7 osób dorosłych, po podjęciu decyzji o trasie swojej podróży, sprawdziła stronę internetową linii lotniczej i stwierdziła, że lot w wybranym terminie jest prawie pełny. Na rysunku dostępnym na stronie zajęte miejsca są oznaczone X, a jedyne dostępne miejsca są w kolorze białym.
Liczba różnych sposobów zakwaterowania rodziny podczas tego lotu jest obliczana na podstawie:
Rozkład
Alternatywa B. Analizując sytuację, zwróć uwagę, że kolejność, tj. który członek rodziny będzie siedział na którym krześle, nie ma znaczenia. Liczy się 7 foteli wybranych przez rodzinę. Więc pracujemy z kombinacją. Dostępnych jest 9 wolnych miejsc, a 7 zostanie wybranych. więc obliczmy kombinację od 9 do 7. Podstawiając w formule musimy:
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm
