Mnożenie macierzy: jak obliczyć, przykłady

TEN mimnożenie macierzy odbywa się za pomocą algorytmu, który wymaga dużej uwagi. Aby istniał iloczyn pomiędzy macierzą A i macierzą B, konieczne jest, aby liczba kolumny daje pierwszy Kwatera główna, w razie A jest równa liczbie linie daje poniedziałek Kwatera główna, w przypadku B.

Z mnożenia między macierzami można zrozumieć, czym jest macierz jednostkowa, czyli neutralny element mnożenia macierzy, a jaka jest macierz odwrotna macierzy M, czyli macierz M^-1 którego iloczyn M przez M^-1 jest równa macierzy tożsamości. Możliwe jest również pomnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą — w tym przypadku mnożymy każdy z wyrazów Kwatera główna według numeru.

Przeczytaj też: Czym jest macierz trójkątna?

warunek istnienia

Mnożenie między macierzami to proces wymagający dużej uwagi.

Aby pomnożyć dwie macierze, najpierw należy sprawdzić warunek istnienia. Aby produkt istniał, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy. Ponadto wynikiem mnożenia jest macierz, która ma taką samą liczbę wierszy jak pierwsza macierz i taką samą liczbę kolumn jak druga macierz.

Na przykład iloczyn AB pomiędzy macierzami A_3x2 oraz b_2x5 istnieje, ponieważ liczba kolumn w A (2 kolumny) jest równa liczbie wierszy w B (2 wiersze), a wynikiem jest macierz AB_3x5. Już produkt między macierzami C_3x5 i macierz D_2x5 nie istnieje, ponieważ C ma 5 kolumn, a D ma 3 wiersze.

Jak obliczyć iloczyn między dwiema macierzami?

Aby wykonać mnożenie macierzy, konieczne jest wykonanie kilku kroków. Zrobimy przykład mnożenia macierzy algebraicznej A_2x3 przez macierz B_3x2

Wiemy, że produkt istnieje, ponieważ macierz A ma 3 kolumny, a macierz B 3 wiersze. Nazwiemy C wynikiem mnożenia A·B. Ponadto wiemy również, że wynikiem jest macierz C._2x2, ponieważ macierz A ma 2 wiersze, a macierz B 2 kolumny.

Aby obliczyć iloczyn między macierzą A_2x3 i macierz B_3x2, wykonajmy kilka kroków.

Najpierw znajdziemy każdy z wyrazów macierzy C_2x2:

Aby znaleźć warunki, spójrzmy zawsze wiąż wiersze macierzy A z kolumnami macierzy B:

do₁₁ → 1. linia A i 1. kolumna B
do₁₂ → 1. linia A i 2. kolumna B
do₂₁ → 2. linia A i 1. kolumna B
do₂₂ → 2. linia A i 2. kolumna B

Każdy z terminów obliczamy mnożąc terminy w wierszu A i terminy w kolumnie B. Teraz musimy dodać te produkty, zaczynając od do_11:

1. linia A
1. kolumna B

do₁₁ = ₁₁·B₁₁ + ₁₂·B₂₁+ ₁₃·B₃₁

obliczenie do₁₂:

1. linia A
2. kolumna B

do₁₂ = ₁₁·B₁₂ + ₁₂·B₂₂+₁₃·B₃₂

obliczenie do₂₁:

2. linia A
1. kolumna B

do₂₁ = ₂₁·B₁₁ + ₂₂·B₂₁+₂₃·B₃₁

obliczanie terminu do₂₂:

2. linia A
2. kolumna B

do₂₂ = ₂₁·B₁₂ + ₂₂·B₂₂+₂₃·B₃₂

Zatem macierz C składa się z terminów:

Przykład:

Obliczmy mnożenie między macierzami A i B.

Wiemy, że w A_2x2 oraz b_2x3, liczba kolumn w pierwszym jest równa liczbie wierszy w drugim, więc iloczyn istnieje. Więc zrobimy C = A· B i wiemy, że C_2x3.

Mnożąc, musimy:

Zobacz też: Co to jest macierz transponowana?

macierz jednostkowa

W mnożeniu między macierzami są pewne szczególne przypadki, takie jak macierz jednostkowa, która jest neutralnym elementem mnożenia między macierzami.. Macierz tożsamości jest macierzą kwadratową, czyli liczba wierszy jest zawsze równa liczbie kolumn. Co więcej, tylko wyrazy przekątnej są w nim równe 1, a pozostałe wyrazy są równe zeru. Kiedy mnożymy macierz M przez macierz jednostkową I_Nie, Musimy:

M · I_Nie = M

Macierze tożsamości od rzędu 2 do rzędu 5

Przykład:

Czym jest macierz odwrotna?

Mając macierz M, znamy ją jako odwrotną macierz M. macierz M^-1którego iloczyn M · M^-1 równa się à macierz tożsamości I_Nie. Aby macierz miała odwrotność, musi być kwadratowa, a jej wyznacznik musi być różna od 0. Spójrzmy na przykłady macierzy, które są odwrotne:

Obliczając iloczyn A·B, musimy:

Zauważ, że iloczyn pomiędzy A i B wygenerowaną macierzą I₂. Kiedy tak się dzieje, mówimy, że B jest macierzą odwrotną A. Aby dowiedzieć się więcej o tego typu matrycy, przeczytaj: Odwrotna macierz.

Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą

W przeciwieństwie do mnożenia między macierzami, istnieje również mnożenie macierzy przez jeden prawdziwy numer, co jest znacznie prostszą operacją w celu znalezienia rozwiązania.

Mnożąc macierz M przez liczbę rzeczywistą k jest równa macierzy kM. Aby znaleźć tę macierz kM, wystarczy pomnóż wszystkie wyrazy w macierzy przez stałą k.

Przykład:

gdyby k = 5 i biorąc pod uwagę macierz M poniżej, znajdź macierz 5M.

Mnożenie:

rozwiązane ćwiczenia

Pytanie 1 - (Unitau) Podane macierze A i B,

wartość elementu c₁₁ macierzy C = AB to:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Rozkład

Alternatywa A.

Jak chcemy termin c term₁₁, pomnóżmy terminy w pierwszym wierszu i A przez terminy w pierwszej kolumnie B.

obliczanie c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Pytanie 2 - (Enem 2012) Uczeń zapisywał dwumiesięczne oceny niektórych przedmiotów w tabeli. Zauważył, że wpisy liczbowe w tabeli tworzą macierz 4×4 i że mógł obliczyć średnie roczne dla tych dyscyplin za pomocą iloczynu macierzy. Wszystkie testy miały tę samą wagę, a tabelę, którą otrzymał, pokazano poniżej.

Aby otrzymać te średnie, pomnożył otrzymaną z tabeli macierz przez macierz:

Rozkład

Alternatywa E.

Średnia to nic innego jak suma elementów podzielona przez liczbę elementów. Zauważ, że w każdym wierszu są 4 nuty, więc średnia będzie sumą tych nut podzieloną przez 4. Dzielenie przez 4 jest tym samym co mnożenie przez frakcja ¼. Również macierz ocen jest macierzą 4x4, więc musimy pomnożyć przez macierz 4x1, czyli ma 4 wiersze i 1 kolumnę, aby znaleźć macierz, która ma średnią ocen.

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm