Macierz: co to jest, rodzaje, operacje, przykłady

TEN Kwatera główna jest powszechnie używany do organizowania danych tabelarycznych w celu ułatwienia rozwiązywania problemów. Informacje macierzowe, numeryczne lub nie, są uporządkowane w rzędach i kolumnach.

Zbiór macierzy wyposażonych w operacje dodanie, odejmowanie i mnożenie i cechy, jako element neutralny i odwrotny, tworzą strukturę matematyczną, która umożliwia jego zastosowanie w różnych dziedzinach tego ogromnego obszaru wiedzy.

Zobacz też: Związek między układami macierzowymi i liniowymi

Reprezentacja macierzowa

Przed przystąpieniem do badań nad macierzami konieczne jest ustalenie pewnych zapisów dotyczących ich reprezentacji. W macierze są zawsze reprezentowane wielkimi literami. (A, B, C…), którym towarzyszą indeksy, w których pierwsza liczba oznacza liczbę rzędów, a druga liczbę kolumn.

TEN Liczba linii (rzędy poziome) i kolumny (pionowe rzędy) macierzy określa jej zamówienie. Macierz A ma rząd m przez n. Informacje zawarte w tablicy nazywają się elementy i są ułożone w nawiasy, nawiasy kwadratowe lub dwie pionowe kreski, patrz przykłady:

Macierz A ma dwa wiersze i trzy kolumny, więc jej kolejność to dwa na trzy → A_2x3.

Macierz B ma jeden wiersz i cztery kolumny, więc jej kolejność jest jedna na cztery, więc nazywa się macierz linii → B_1x4.

Macierz C ma trzy wiersze i jedną kolumnę, dlatego nazywa się macierz kolumn a jego kolejność to trzy na jeden → C_3x1.

Możemy ogólnie reprezentować elementy tablicy, to znaczy możemy zapisać ten element za pomocą reprezentacji matematycznej. Oelement ogólny będzie reprezentowany przez małe litery (a, b, c…) i podobnie jak w przypadku reprezentacji tablic posiada również indeks wskazujący jego położenie. Pierwsza liczba wskazuje wiersz, w którym znajduje się element, a druga liczba wskazuje kolumnę, w której się znajduje.

Rozważ następującą macierz A, wymienimy jej elementy.

Obserwując pierwszy element, który znajduje się w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie, czyli w pierwszym rzędzie i pierwszej kolumnie, mamy numer 4. Aby ułatwić sobie pisanie, oznaczymy je przez:

₁₁ → linia jeden element, kolumna pierwsza

Mamy więc następujące elementy macierzy A_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

Ogólnie rzecz biorąc, możemy napisać tablicę jako funkcję jej elementów ogólnych, to jest ogólna macierz.

Macierz składająca się z m wierszy i n kolumn jest reprezentowana przez:

• Przykład

Wyznacz macierz A = [a_ij ]_2x2, który ma następujące przepisy dotyczące szkoleń, aby_ij = j² – 2i. Z danych zestawienia wynika, że ​​macierz A jest rzędu dwa na dwa, czyli ma dwa wiersze i dwie kolumny, a więc:

Dodatkowo podano prawo tworzenia macierzy, czyli każdy element jest zadowolony z relacji do_ij = j² – 2i. Podstawiając wartości i oraz j we wzorze otrzymujemy:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Dlatego macierz A to:

Typy tablic

Niektóre matryce zasługują na szczególną uwagę, zobacz te rodzaje tablic z przykładami.

• macierz kwadratowa

Matryca jest kwadratowa, gdy liczba wierszy równa się liczbie kolumn. Reprezentujemy macierz, która ma n wierszy i n kolumn przez A_Nie (czytaj: macierz kwadratowa rzędu n).

W macierzach kwadratowych mamy dwa bardzo ważne elementy, przekątne: główna i wtórna. Główną przekątną tworzą elementy o równych indeksach, czyli każdy element a_ij gdzie i = j. Drugą przekątną tworzą elementy a elements_ij gdzie i + j = n +1, gdzie n jest porządkiem macierzy.

• macierz jednostkowa

Macierz tożsamości to macierz kwadratowa, która ma wszystkotyelementy głównej przekątnej równe 1 i pozostałe elementy równe 0, jego prawo powstania to:

Oznaczmy tę macierz przez I, gdzie n jest rzędem macierzy kwadratowej, zobacz kilka przykładów:

• macierz jednostek

Jest to macierz kwadratowa rzędu pierwszego, to znaczy ma wiersz i kolumnę, a zatem tylko jeden element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 i C = || 5||_1x1

Są to przykłady macierzy jednostkowych, z naciskiem na macierz B, która jest a macierz tożsamości jednostki.

• zerowa macierz

Mówi się, że tablica jest pusta, jeśli wszystkie jej elementy są równe zeru. Reprezentujemy zerową macierz rzędu m przez n przez O_mxn.

Macierz O ma wartość null rzędu 4.

• przeciwna macierz

Rozważ dwie macierze równego rzędu: A = [a_ij]_mxn i B = [b_ij]_mxn. Macierze te będą nazywane przeciwstawnymi wtedy i tylko wtedy, gdy_ij = -b_ij. A zatem, odpowiednie elementy muszą być liczby przeciwne.

Możemy przedstawić macierz B = -A.

• transponowana macierz

Dwie macierze A = [a_ij]_mxn i B = [b_ij]_nxm oni są transponowany wtedy i tylko wtedy, gdy_ij = b_Ji , czyli mając macierz A, aby znaleźć jej transpozycję, po prostu weź wiersze jako kolumny.

Transpozycja macierzy A jest oznaczona przez A^T. Zobacz przykład:

Zobacz więcej: Macierz odwrotna: co to jest i jak weryfikować

Operacje na macierzach

Ogólna reprezentacja macierzy n x m.

Zbiór macierzy ma operacje abardzo dobrze zdefiniowane dodawanie i mnożenie, to znaczy, gdy operujemy dwiema lub więcej macierzami, wynik operacji nadal należy do zbioru macierzy. A co z operacją odejmowania? Rozumiemy tę operację jako odwrotność dodawania (macierz przeciwna), która również jest bardzo dobrze zdefiniowana.

Zanim zdefiniujemy operacje, zrozummy idee odpowiedni element i równość macierzy. Odpowiadające elementy to te, które zajmują tę samą pozycję w różnych macierzach, to znaczy znajdują się w tym samym wierszu i kolumnie. Oczywiście tablice muszą być tej samej kolejności, aby pasujące elementy istniały. Popatrz:

Elementy 14 i -14 są odpowiadającymi sobie elementami przeciwległych macierzy A i B, ponieważ zajmują tę samą pozycję (ten sam wiersz i kolumna).

Dwie macierze zostaną uznane za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe. Zatem, biorąc pod uwagę macierze A = [a_ij]_mxn i B = [b_ij]_mxn, będą takie same wtedy i tylko wtedy, gdy_ij = b_ij dla każdego i j.

• Przykład

Wiedząc, że macierze A i B są sobie równe, wyznacz wartości x i t.

Ponieważ macierze A i B są równe, to odpowiadające im elementy muszą być równe, a zatem:

x = -1 i t = 1

• Dodawanie i odejmowanie macierzy

Operacje dodawanie i odejmowanie między macierzami są dość intuicyjne, ale najpierw musi być spełniony warunek. Aby wykonać te operacje, najpierw należy sprawdzić, czy rzędy tablic są równe.

Po zweryfikowaniu tego warunku dodawanie i odejmowanie macierzy odbywa się poprzez dodawanie lub odejmowanie odpowiednich elementów macierzy. Rozważ macierze A = [a_ij]_mxn i B = [b_ij]_mxn, następnie:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Przykład

Rozważ macierze A i B poniżej, wyznacz A + B i A – B.

Przeczytaj też: Operacje na liczbach całkowitych

• Mnożenie liczby rzeczywistej przez macierz

Mnożenie liczby rzeczywistej w macierzy (znanej również jako mnożenie macierzy) przez skalar jest obliczane przez pomnożenie każdego elementu macierzy przez skalar.

Niech A = [a_ij]_mxn macierz i t liczba rzeczywista, więc:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Zobacz przykład:

• Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy nie jest tak trywialne jak dodawanie i odejmowanie macierzy. Przed wykonaniem mnożenia musi być również spełniony warunek dotyczący kolejności macierzy. Rozważ macierze A_mxn oraz b_nxr.

Aby wykonać mnożenie, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej. Macierz iloczynu (pochodząca z mnożenia) ma porządek określony liczbą wierszy w pierwszym i liczbą kolumn w drugim.

Aby wykonać mnożenie między macierzami A i B, musimy pomnożyć każdy z wierszy przez wszystkie kolumny w następujący sposób: pierwszy element z A jest mnożone przez pierwszy element B, a następnie dodawane do drugiego elementu A i mnożone przez drugi element B, i tak sukcesywnie. Zobacz przykład:

Przeczytaj też: Twierdzenie Laplace'a: wiedzieć, jak i kiedy używać

Ćwiczenia rozwiązane

Pytanie 1 – (U. I. Londrina – PR) Niech macierze A i B będą odpowiednio 3 x 4 i p x q, a jeśli macierz A · B ma rząd 3 x 5, to prawdą jest, że:

a) p = 5 i q = 5

b) p = 4 i q = 5

c) p = 3 i q = 5

d) p = 3 i q = 4

e) p = 3 i q = 3

Rozwiązanie

Mamy oświadczenie, że:

TEN_3x4 · B_pxq = C_3x5

Z warunku do pomnożenia dwóch macierzy mamy, że iloczyn istnieje tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszej jest równa liczbie wierszy w drugiej, czyli p = 4. Wiemy też, że macierz iloczynu jest dana przez liczbę wierszy w pierwszym z liczbą kolumn w drugim, czyli q = 5.

Dlatego p = 4 i q = 5.

O: Alternatywa b

Pytanie 2 - (Vunesp) Określ wartości x, y i z, na następującej równości, obejmujące 2 x 2 macierze rzeczywiste.

Rozwiązanie

Wykonajmy operacje między tablicami, a następnie równość między nimi.

Aby określić wartość x, y i z, rozwiążemy układ liniowy. Na początek dodajmy równania (1) i (2).

2x - 4= 0

2x = 4

x = 2

Podstawiając wartość x znalezioną w równaniu (3), otrzymujemy:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

I wreszcie, podstawiając wartości x i z znalezione w równaniu (1) lub (2), otrzymujemy:

x + y - z = 0

2+y – 2 = 0

y=0

Dlatego rozwiązanie problemu jest dane przez S = {(2, 0, 2)}.

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki