Jeden postęp arytmetyczny (PA) jest sekwencja liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą poprzedniego o stałą, zwaną stosunkiem. Oni istnieją wyrażenia matematyczne określić czas trwania PA i obliczyć sumę jego Nie pierwsze warunki.
Wzór używany do obliczenia suma warunków skończonego PA lub sumy Nie pierwsze warunki PA są następujące:
sNie = w1 +Nie)
2
*n to liczba terminów BP;1 jest pierwszym terminem, aNie jest ostatni.
Pochodzenie sumy warunków PA
Mówi się, że niemiecki matematyk Carl Friederich Gauss, w wieku około 10 lat, został ukarany ze swoją klasą w szkole. Nauczyciel powiedział uczniom, aby zsumowali wszystkie liczby, które pojawiają się w sekwencja od 1 do 100.
Gauss był nie tylko pierwszym, który ukończył wyścig w bardzo krótkim czasie, ale także jedynym, który osiągnął właściwy wynik (5050). Ponadto nie przedstawił żadnych obliczeń. To, co zrobił, to naprawił następującą nieruchomość:
Suma dwóch wyrazów równoodległych od ekstremów skończonego PA jest równa sumie ekstremów.
Nie było wiedzy na temat
PATELNIA w tym czasie, ale Gauss przejrzał listę liczb i zdał sobie sprawę, że dodanie pierwszego do ostatniego dałoby 101; dodając drugą do przedostatniej, wynik byłby również 101 i tak dalej. Jako suma wszystkich par wyrazów równoodległy ekstremów dochodziło do 101, Gauss musiał tylko pomnożyć tę liczbę przez połowę dostępnych wyrazów, aby uzyskać wynik 5050.Zauważ, że od 1 do 100 jest dokładnie 100 liczb. Gauss zdał sobie sprawę, że jeśli doda je dwa do dwóch, otrzyma 50 wyników równych 101. Dlatego to mnożenie zostało wykonane przez połowę wszystkich wyrazów.
Demonstracja sumy warunków PA
Ten wyczyn dał początek wyrażeniu używanemu do obliczania suma Nie pierwsze terminy PA. Taktyka użyta do uzyskania tego wyrażenia jest następująca:
dany jeden PATELNIA dowolny, dodamy pierwsze n jego warunków. Matematycznie będziemy mieli:
sNie =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Nie
Tuż pod tym suma terminów, napiszemy kolejny, z takimi samymi terminami jak poprzedni, ale w sensie malejącym. Zauważ, że suma warunków w pierwszym jest równa sumie warunków w drugim. Dlatego oba zostały zrównane z SNie.
sNie =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Nie
sNie =Nie +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
Zauważ, że te dwa wyrażenia zostały uzyskane z pojedynczego PATELNIA oraz że równoodległe terminy są wyrównane w pionie. Dlatego możemy dodać wyrażenia, aby otrzymać:
sNie =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Nie
+ sNie =Nie +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
2SNie = (1 +Nie) + (a2 +n - 1) + … + (an - 1 +2) + (aNie +1)
Pamiętaj, że suma wyrazów równoodległych od ekstremów jest równa sumie ekstremów. Dlatego każdy nawias można zastąpić sumą ekstremów, co zrobimy dalej:
2SNie = (1 +Nie) + (a1 +Nie) +... + (1 +Nie) + (a1 +Nie)
Pomysł Gaussa polegał na dodaniu równoodległych członów ciągu. Więc dostał połowę warunków z PATELNIA w wynikach 101. Zrobiliśmy to tak, że każdy składnik początkowego BP był dodawany do jego równoodległej wartości, zachowując jego liczba terminów. Tak więc, ponieważ PA miał n wyrazów, możemy zmienić sumę w powyższym wyrażeniu przez mnożenie i rozwiązać równanie znaleźć:
2SNie = (1 +Nie) + (a1 +Nie) +... + (1 +Nie) + (a1 +Nie)
2SNie = n (a1 +Nie)
sNie = w1 +Nie)
2
To jest dokładnie formuła używana do dodawania Nie pierwsze terminy PA.
Przykład
Mając dane PA (1, 2, 3, 4), określ sumę jego pierwszych 100 wyrazów.
Rozwiązanie:
Musimy znaleźć termin a100. W tym celu użyjemy ogólny termin formuła PA:
Nie =1 + (n – 1)r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
Teraz wzór na zsumowanie pierwszych n wyrazów:
sNie = w1 +Nie)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm