Racjonalizacja mianowników jest techniką używaną, gdy a frakcja ma liczbę niewymierną w mianowniku i chcesz znaleźć drugi ułamek odpowiadający pierwszemu ułamkowi, który nie ma liczby niewymiernej w mianowniku. Aby to zrobić, konieczne jest wykonanie operacji matematycznych, aby przepisać ułamek, aby nie miał niedokładnego pierwiastka w mianowniku.
Przeczytaj też: Jak rozwiązywać operacje na ułamkach?
Jak zracjonalizować mianowniki?
Zaczniemy od najprostszego przypadku racjonalizacji mianowników i przejdziemy do najbardziej złożonego, ale sama technika polega na szukaniu ułamek równoważny pomnożenie licznika i mianownika przez wygodną liczbę, która pozwala wyeliminować pierwiastek mianownika ułamka. Zobacz, jak to zrobić w różnych sytuacjach poniżej.
Racjonalizacja, gdy w mianowniku jest pierwiastek kwadratowy
Istnieje kilka ułamków, które można przedstawić za pomocą liczby niewymierne w mianownikach. Zobacz kilka przykładów:
Kiedy mianownik ułamka jest irracjonalny, używamy pewnych technik, aby przekształcić go w racjonalny mianownik, na przykład racjonalizację. kiedy jest
pierwiastek kwadratowy w mianowniku możemy podzielić na dwa przypadki. Pierwszy to gdy ułamek ma tylko jeden pierwiastek w swoim rodniku.Przykład 1:
Aby zracjonalizować ten mianownik, znajdźmy ułamek równoważny temu, ale który nie ma irracjonalnego mianownika. W tym celu pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę — w tym przypadku będzie to dokładnie mianownik ułamka, czyli √3.
W mnożenie ułamków, mnożymy prosto. Wiemy, że 1 · √3 = √3. W mianowniku mamy, że √3 ·√3 = √9 = 3. Dzięki temu dochodzimy do następujących rzeczy:
Mamy więc reprezentację ułamka, którego mianownik nie jest liczbą niewymierną.
Przykład 2:
Drugi przypadek ma miejsce, gdy występuje dodatek lub różnica między niedokładnym korzeniem.
Gdy w mianowniku występuje różnica lub dodanie wyrazów, z których jednym jest niedokładny pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Sprzężenie 2 – 1 nazywamy odwrotnością drugiej liczby, czyli 2 + 1.
Wykonując mnożenie w liczniku, musimy:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Mianownik to niezwykły produkt znany jako iloczyn sumy za różnicę. Jej wynikiem jest zawsze kwadrat pierwszego wyrazu minus kwadrat drugiego wyrazu.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Tak więc, racjonalizując mianownik tego ułamka, musimy:
Zobacz też: Trzy częste błędy w upraszczaniu ułamków algebraicznych
Racjonalizacja, gdy pierwiastek indeksu jest większy niż 2
Teraz spójrz na kilka przykładów, w których w mianowniku znajduje się pierwiastek indeksów większych niż 2.
Ponieważ celem jest wyeliminowanie radykału, pomnóżmy mianownik, aby można było usunąć pierwiastek tego mianownika.
Przykład 1:
W tym przypadku, aby wyeliminować wykładnik radykalny, zajmijmy się pomnóż przez pierwiastek sześcienny 2² w liczniku i mianowniku, tak że pojawia się wewnątrz rodnika 2³, a zatem możliwe jest anulowanie pierwiastka sześciennego.
Wykonując mnożenie, musimy:
Przykład 2:
Stosując to samo rozumowanie, pomnóżmy mianownik i licznik przez liczbę, która powoduje moc od mianownika do indeksu, czyli zróbmy pomnóż przez piąty pierwiastek z 3 sześcianów aby można było anulować mianownik.
Przeczytaj też: Jak uprościć ułamki algebraiczne?
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 – Racjonalizując mianownik ułamka poniżej, znajdujemy:
A) 1 + √3.
B) 2(1 + √3).
C) – 2(1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Rozkład
Alternatywa C.
Pytanie 2 - (IFCE 2017 — adaptacja) Przybliżając wartości √5 i √3 do drugiego miejsca po przecinku, otrzymujemy odpowiednio 2,23 i 1,73. W przybliżeniu wartość następującego wyrażenia liczbowego z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku to:
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Rozkład
Alternatywa E.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
