ty liczby naturalne były pierwszym historycznie branym pod uwagę zestawem liczbowym. Wyszli z trzeba liczyć człowieka. Zbiór liczb naturalnych ma jako elementy liczby dodatnie i całkowite, jak 1, 2, 3, 4, …. Ten zestaw ma operacje dodawania, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, wzmacnianie i napromieniowanie.
Czym są liczby naturalne?
liczby naturalne to liczby ściśle pozytywne które nie mają przecinka, czyli reprezentują ilości cały. Zbiór liczb naturalnych można przedstawić w następujący sposób:
Zbiór liczb naturalnych to a nieskończony zestaw, czyli przy dowolnej liczbie naturalnej istnieje co najmniej jedna liczba większa od niej. Zobacz kilka przykładów elementów, które należą i nie należą do tego zestawu.
Z powyższego przykładu wynika, że liczby 10, 2 i 100 należą do zbioru naturalnego, a liczby 1.65, –2 i 0 nie należą do zbioru naturalnego.
Przeczytaj też: Ciekawostki dotyczące dzielenia liczb naturalnych
Następca liczby naturalnej
Jak powiedzieliśmy powyżej, zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym, to znaczy przy dowolnej liczbie Nie naturalne, zawsze jest n+1, również naturalny. Numer n+1 nazywana jest następcą rzeczownik Aby określić następcę dowolnej liczby naturalnej, wystarczy Dodaj 1 do tego numeru. Jako przykład wyznaczmy następców liczb 3, 1, 5 i 2p + 1.
Następca liczby 3 jest podany przez 3+1, czyli liczbę 4. Podobnie, następcami 1 i 5 są odpowiednio 2 i 6. Zgodnie z definicją następcy, załóżmy, że następcą 2p + 1 jest 2p + 1 + 1, czyli 2p + 2.
Wraz z definicją następcy, idea, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, staje się wyraźniejsza, ponieważ zawsze można znaleźć dowolnego następcę liczby naturalnej.
Przodek liczby naturalnej
Poprzednik liczby naturalnej Nie to ten, który poprzedza ten numer Nie. Możemy napisać poprzednik Nie lubić n - 1. Jako przykład określmy poprzedników liczb 2, 5, 1000 i 2p + 1.
Poprzednik 2 jest podany przez 2 - 1, więc jest to liczba 1. Podobnie poprzednicy 5 i 1000 to odpowiednio liczby 4 i 999. Poprzednikiem liczby 2p + 1 jest 2p + 1 – 1, czyli poprzednikiem 2p +1 jest liczba 2p.
Ważne jest, aby to powiedzieć nie każda liczba naturalna ma poprzednika, to przypadek liczby 1. Stosując definicję przodka, mamy, że poprzednikiem liczby 1 jest 1 - 1 = 0, ale numer zero nie należy do liczb naturalnych. Dlatego każda liczba naturalna ma swojego poprzednika, z wyjątkiem liczby 1. Z tego powodu liczba 1 nazywana jest minimalnym elementem naturalnych, czyli jest najmniejszą liczbą naturalną. Możemy napisać te informacje w ten sposób:
Podzbiór liczb naturalnych
Wiemy, że zbiór liczb naturalnych składa się z liczb ściśle dodatnich, to znaczy liczb większych od zera. Z teorii zestawy, mamy to, biorąc pod uwagę zbiory A i B, mówimy, że B jest podzbiorem A, jeśli każdy element B jest elementem A, czyli B jest zawarte w A (B ⸦ A).
Zatem każdy zbiór utworzony przez liczby naturalne będzie podzbiorem liczb naturalnych. Zobacz kilka przykładów:
Rozważ zestawy:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Zbiory A, B i C są podzbiorami liczb naturalnych, ponieważ wszystkie elementy tych zbiorów są również elementami liczb naturalnych, czyli możemy powiedzieć, że:
Teraz spójrz na zestaw D. Zauważ, że w tym zbiorze nie każdy element należy do zbioru liczb naturalnych. Tak jest w przypadku liczby 0. Dlatego D to nie jest podzbiór liczb naturalnych, czyli D nie jest zawarte w zbiorze liczb naturalnych. Fakt ten oznaczamy w następujący sposób:
Przeczytaj też: Liczby pierwsze: czym są i jak je znaleźć?
nawet liczby naturalne
Mówimy, że liczba jest nawet wtedy, gdy jest wielokrotnością liczby 2, co jest równoznaczne z stwierdzeniem, że ta liczba jest podzielna przez 2. Popatrz:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym, podobnie jak zbiór liczb parzystych. Zauważ też, że każdy element zbioru liczb parzystych jest również elementem liczb naturalnych, a zatem zbioru liczby parzyste to podzbiór liczb naturalnych..
Zobaczyć, że:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Zbiór liczb parzystych można otrzymać mnożąc wszystkie liczby naturalne przez liczbę 2. Więc biorąc pod uwagę liczbę naturalną Nie, liczbę parzystą możemy zapisać za pomocą wyrażenia 2n, więc zbiór liczb parzystych można ogólnie zapisać przez:
Jako przykład sprawdźmy, czy liczby 1000, 2098 i 55 są parzyste.
Ponieważ 1000 = 2 · 500 i 2098 = 2 · 1049, są one nawet dlatego, że istnieje liczba naturalna, która pomnożona przez 2 daje je. Teraz 55 nie jest parzyste, ponieważ nie ma liczby naturalnej, która pomnożona przez 2 daje 55. Popatrz:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Jak dobrze wiemy, nie ma liczby naturalnej między 27 a 28, więc 55 nie jest parzyste.
Nieparzyste liczby naturalne
Liczba jest nieparzysta, jeśli nie jest parzysta, to znaczy, gdy nie jest wielokrotnością ani nie jest podzielna przez 2. Tak więc zbiór nieparzyste liczby naturalne to liczby naturalne, które nie są wielokrotnościami 2. Ten zestaw można zapisać w następujący sposób:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Analogicznie do tego, co zrobiliśmy w zbiorze liczb parzystych, mamy:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Zbiór liczb nieparzystych można uzyskać mnożąc wszystkie liczby naturalne przez 2 i dodawanie 1. biorąc pod uwagę liczbę naturalną Nie dowolny, możemy zapisać dowolną liczbę nieparzystą za pomocą wyrażenia 2n + 1. Ogólnie rzecz biorąc, zbiór liczb nieparzystych reprezentujemy przez:
Zauważ, że zbiór liczb nieparzystych jest również zbiorem nieskończonym, ponieważ aby uzyskać liczby nieparzyste, mnożymy liczby naturalne przez 2, a następnie dodajemy 1. Z tego powodu zbiór liczb nieparzystych jest również podzbiorem liczb naturalnych., ponieważ każdy element tego zestawu jest również elementem tych naturalnych.
Zobacz też: Właściwości liczb parzystych i nieparzystych
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 – Wymień tylko liczby naturalne z liczb wymienionych poniżej:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 i 98 765
Rozwiązanie
Wiemy, że zbiór liczb naturalnych składa się z liczb ściśle dodatnich, które nie mają przecinka, więc liczby naturalne na liście to: 1, 2 i 98 765.
pytanie 2 – Biorąc pod uwagę ogólną postać liczby parzystej, czy to prawda, że dodając dwie liczby parzyste, wynik jest nadal parzysty? To samo dotyczy liczb nieparzystych?
Rozwiązanie
Wiemy, że liczbę parzystą można ogólnie zapisać, mnożąc dowolną liczbę naturalną przez 2. Rozważmy dwie różne liczby naturalne, 2n i 2m, gdzie m i Nie dowolnych liczb naturalnych, ich suma jest określona przez:
2n + 2m
Stawiając cyfrę 2 na dowód, mamy:
2 ·(n+m)
Lubić Nie i m są dwiema liczbami naturalnymi, ich suma również wynosi, więc n + m = k, gdzie k liczba naturalna.
2 ·(n+m)
2 · k
Dlatego suma dwóch parzystych liczb naturalnych jest również liczbą parzystą, ponieważ suma daje wielokrotność 2.
Teraz wiemy, że liczbę nieparzystą otrzymujemy, mnożąc liczbę naturalną przez 2 dodaną do liczby 1. Rozważmy teraz dwie różne liczby nieparzyste, 2n+1 i 2m+1, gdzie m i Nie naturalny. Dodając te liczby razem, mamy:
2n+1 + 2m +1
2n + 2m +2
Znowu umieszczając liczbę 2 w dowodach, mamy:
2 (n+m+1)
Zauważ, że n + m + 1 jest liczbą naturalną i możemy ją przedstawić przez p, czyli n + m + 1 = p, wkrótce:
2 ·(n+m+1)
2 · P
Zauważ, że wynik dodania dwóch liczb nieparzystych dał wielokrotność 2, czyli parzystą. Dlatego suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą.
Pytanie 3 - (Przetarg / Pref. z Itaboraí) Iloraz między dwiema liczbami naturalnymi wynosi 10. Mnożąc dywidendę przez 5 i zmniejszając dzielnik o połowę, iloraz nowego podziału wyniesie:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Rozwiązanie
Zgodnie z oświadczeniem iloraz (dzielenie) między dwiema liczbami naturalnymi wynosi 10. Ponieważ nadal nie wiemy, jakie są te liczby, nazwijmy je według m i Nie, następnie:
Teraz mnożąc dywidendę przez 5 i zmniejszając dzielnik o połowę, otrzymujemy:
Przeprowadzanie podział ułamkowy i zastąpienie wartości m, będziemy mieli:
Odpowiadać: Alternatywne mi.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
