A sekwencja numeryczna to zbiór liczb zorganizowanych w uporządkowany sposób. Sekwencję liczbową można utworzyć przy użyciu różnych kryteriów — na przykład sekwencji liczb parzystych lub sekwencji wielokrotności 3. Kiedy możemy opisać to kryterium wzorem, nazywamy ten wzór prawem tworzenia ciągu liczbowego.
Przeczytaj też: Różnice między liczbą, cyfrą i cyfrą
Podsumowanie sekwencji numerycznej
Sekwencja numerów to lista liczb ułożonych w odpowiedniej kolejności.
Sekwencja numeryczna może spełniać różne kryteria.
Prawo występowania ciągu liczbowego to lista elementów występujących w ciągu.
Sekwencję można klasyfikować na dwa sposoby. Jeden bierze pod uwagę liczbę elementów, a drugi bierze pod uwagę zachowanie.
Jeśli chodzi o liczbę elementów, sekwencja może być skończona lub nieskończona.
Jeśli chodzi o zachowanie, sekwencja może być rosnąca, stała, malejąca lub oscylująca.
Jeżeli ciąg liczbowy można opisać za pomocą równania, równanie to nazywa się prawem tworzenia ciągu liczbowego.
Co to są sekwencje?
Sekwencje są zestawy elementów ułożonych w określonej kolejności. W naszym codziennym życiu możemy dostrzec kilka sytuacji obejmujących sekwencje:
Kolejność miesięcy: Styczeń, luty, marzec, kwiecień,..., grudzień.
Kolejność lat pierwszych 5 Pucharów Świata XXI wieku: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Istnieje kilka innych możliwych sekwencji, takich jak sekwencja imion lub sekwencja wieku. Zawsze, gdy istnieje ustalony porządek, istnieje sekwencja.
Każdy element ciągu nazywany jest wyrazem ciągu, więc w ciągu występuje pierwszy wyraz, drugi wyraz i tak dalej. Ogólnie, sekwencję można przedstawić za pomocą:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(do 1\) → pierwszy termin.
\(a_2\) → druga kadencja.
\(a_3\) → trzeci termin.
\(jakiś\) → dowolny termin.
Prawo występowania ciągu liczbowego
Możemy mieć sekwencje różnych elementów, takich jak między innymi miesiące, nazwy, dni tygodnia. Asekwencja jest sekwencją numeryczną, jeśli zawiera liczby. Możemy utworzyć ciąg liczb parzystych, nieparzystych, liczby pierwsze, wielokrotności 5 itd.
Sekwencja jest reprezentowana za pomocą prawa występowania. Prawo występowania to nic innego jak lista elementów ciągu liczbowego.
Przykłady:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → ciąg liczb nieparzystych od 1 do 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → ciąg liczb będący wielokrotnością 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → naprzemienna sekwencja od 1 do -1.
Jaka jest klasyfikacja ciągu liczbowego?
Sekwencje możemy klasyfikować na dwa różne sposoby. Jednym z nich jest uwzględnienie liczby elementów, a drugim uwzględnienie zachowania tych elementów.
→ Klasyfikacja ciągu numerycznego ze względu na liczbę elementów
Kiedy klasyfikujemy ciąg według liczby elementów, istnieją dwie możliwe klasyfikacje: ciąg skończony i ciąg nieskończony.
◦ Skończony ciąg liczb
Ciąg jest skończony, jeśli ma ograniczoną liczbę elementów.
Przykłady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Nieskończona sekwencja liczb
Ciąg jest nieskończony, jeśli ma nieograniczoną liczbę elementów.
Przykłady:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Klasyfikacja ciągu numerycznego ze względu na zachowanie ciągu
Innym sposobem klasyfikacji jest zachowanie sekwencji. W tym przypadku sekwencja może być rosnąca, stała, oscylacyjna lub malejąca.
◦ Rosnąca sekwencja liczb
Sekwencja jest rosnąca, jeśli wyraz jest zawsze większy od swojego poprzednika.
Przykłady:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Stała sekwencja liczb
Sekwencja jest stała, gdy wszystkie wyrazy mają tę samą wartość.
Przykłady:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Malejąca sekwencja liczb
Sekwencja jest malejąca, jeśli wyrazy w ciągu są zawsze mniejsze niż ich poprzednicy.
Przykłady:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oscylująca sekwencja liczb
Sekwencja oscyluje, jeśli na przemian występują wyrazy większe od swoich poprzedników i wyrazy mniejsze od swoich poprzedników.
Przykłady:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Prawo tworzenia ciągu liczbowego
W niektórych przypadkach możliwe jest opisanie sekwencji za pomocą wzorujednak nie zawsze jest to możliwe. Na przykład ciąg liczb pierwszych jest ciągiem dobrze określonym, jednak nie możemy go opisać za pomocą wzoru. Znając wzór, udało nam się skonstruować prawo występowania ciągu liczbowego.
Przykład 1:
Ciąg liczb parzystych większych od zera.
\(a_n=2n\)
Należy pamiętać o tym podczas wymiany N dla jednego Liczba naturalna (1, 2, 3, 4, ...), znajdziemy liczbę parzystą:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Mamy więc formułę, która generuje wyrazy ciągu utworzonego przez liczby parzyste większe od zera:
(2, 4, 6, 8, ...)
Przykład 2:
Ciąg liczb naturalnych większych od 4.
\(a_n=4+n\)
Obliczając wyrazy ciągu mamy:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Zapisanie prawa występowania:
(5, 6, 7, 8,…)
Zobacz też: Postęp arytmetyczny — szczególny przypadek ciągu liczbowego
Rozwiązane ćwiczenia z ciągu liczbowego
Pytanie 1
Ciąg liczbowy ma prawo tworzenia równe \(a_n=n^2+1\). Analizując ten ciąg możemy stwierdzić, że wartość piątego wyrazu ciągu będzie wynosić:
A) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Rezolucja:
Alternatywa E
Obliczając wartość piątego wyrazu ciągu mamy:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
pytanie 2
Przeanalizuj następujące ciągi liczbowe:
I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Można stwierdzić, że sekwencje I, II i III klasyfikuje się odpowiednio jako:
A) rosnące, oscylujące i malejące.
B) malejące, rosnące i oscylujące.
C) oscylacyjny, stały i rosnący.
D) malejące, oscylujące i stałe.
E) oscyluje, maleje i rośnie.
Rezolucja:
Alternatywa C
Analizując ciągi możemy stwierdzić, że:
I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Jest oscylacyjny, ponieważ istnieją terminy, które są większe od swoich poprzedników i terminy, które są mniejsze od swoich poprzedników.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Jest stała, ponieważ wyrazy ciągu są zawsze takie same.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Rośnie, ponieważ terminy są zawsze większe niż ich poprzednicy.
