Równanie wykładnicze: czym są i jak je rozwiązać (z przykładami)

Równanie jest wykładnicze, gdy nieznana (nieznana wartość) jest wykładnikiem potęgi. Zatem zdanie matematyczne, które obejmuje równość dwóch terminów, w którym niewiadoma pojawia się w co najmniej jednym wykładniku, nazywa się równaniem wykładniczym.

Potęga jest wypadkową iloczynu samej podstawy, tyle razy, ile wynosi wykładnik.

W równaniu wykładniczym określamy, ile czynników należy pomnożyć, czyli ile razy należy pomnożyć podstawę, aby uzyskać określony wynik.

Definicja równania wykładniczego:

styl początkowy rozmiar matematyczny 18 pikseli prosty b do potęgi prostej x równa się stylowi od razu do końca

Gdzie:

b jest podstawą;
x jest wykładnikiem (nieznany);
a to moc.

Na czym prosta b nie równa się 1 prostej przestrzeni i prosta b większa niż 0 To jest proste a nie równe 0 .

Przykład równania wykładniczego:

Nieznana zmienna znajduje się w wykładniku. Musimy określić, ile razy 2 zostanie pomnożone, aby otrzymać 8. Jak 2. 2. 2 = 8, x = 3, ponieważ 2 należy pomnożyć trzykrotnie, aby otrzymać w rezultacie 8.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Równania wykładnicze można zapisać na różne sposoby i do ich rozwiązania wykorzystamy równe potęgi o równych podstawach, które również muszą mieć te same wykładniki.

instagram story viewer

Ponieważ funkcja wykładnicza jest iniekcyjna, mamy:

prosta b do potęgi prostej x z 1 indeksem dolnym koniec wykładniczej równej prostej b do potęgi prostej x z 2 indeksem dolnym na końcu przestrzeń wykładnicza podwójna strzałka w lewo i w prawo spacja prosta x z 1 indeksem dolnym równa się prostej x z 2 subskrybowany

Oznacza to, że dwie potęgi o tej samej podstawie będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wykładniki również będą równe.

Zatem jedną ze strategii rozwiązywania równań wykładniczych jest zrównać podstawy potęg. Gdy podstawy będą takie same, możemy je wyeliminować i porównać wykładniki.

Aby wyrównać podstawy potęg w równaniu wykładniczym, używamy narzędzi matematycznych, takich jak faktoryzacja i właściwości wzmacniające.

Przykłady rozwiązywania równań wykładniczych

Przykład 1
2 do potęgi prostej x równej 64

Jest to równanie wykładnicze, ponieważ zdanie zawiera równość (równanie), a nieznana zmienna x występuje w wykładniku (wykładniczy).

Aby określić wartość nieznanego x, przyrównujemy podstawy potęg, korzystając z rozkładu na czynniki 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 lub 2 do potęgi 6

Podstawiając do równania:

Pomijamy podstawy, pozostawiając jedynie równość wykładników.

x = 6

Zatem x = 6 jest wynikiem równania.

Przykład 2
9 do potęgi prostej x plus 1 koniec wykładnika równego 81

Przyrównujemy podstawy za pomocą faktoryzacji.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Podstawiając do równania:

nawiasy otwarte 3 kwadraty nawiasów zamkniętych do potęgi x plus 1 koniec wykładniczego równego 3 do potęgi 4

Korzystając z właściwości potęgi, mnożymy wykładniki po lewej stronie.

3 do potęgi 2 x dodać 2 koniec wykładnika równego 3 do potęgi 4

Mając równe podstawy, możemy je odrzucić i wyrównać wykładniki.

2 proste x plus 2 równa się 4 2 proste x równa się 4 minus 2 2 proste x równa się 2 proste x równa się 2 przez 2 równa się 1

Zatem x = 1 jest wynikiem równania.

Przykład 3

0 przecinek 75 do potęgi prostej x równej 9 przez 16 spacji

Przekształcamy podstawę 0,75 na ułamek setny.

otwieranie nawiasów 75 na 100 zamykanie nawiasów do potęgi prostej x równej 9 przez 16 spacja

Upraszczamy ułamek setny.

otwieranie nawiasów 3 przez 4 zamykanie nawiasów do potęgi prostej x równej 9 przez 16 spacja

Rozliczamy 9 i 16.

otwórz nawiasy 3 przez 4 zamknij nawiasy do potęgi prostej x równej 3 do kwadratu przez 4 do kwadratu

Zrównując podstawy, mamy x = 2.

otwieranie nawiasów 3 przez 4 zamykanie nawiasów do potęgi kwadratowej x równe otwieraniu nawiasów 3 przez 4 zamykanie nawiasów do kwadratu

x = 2

Przykład 4

Przekształcamy pierwiastek w potęgę.

4 do potęgi x równej 32 do potęgi 1 trzeciego końca wykładnika

Uwzględniamy podstawy mocy.

nawiasy otwarte 2 kwadraty nawiasów zamykających do potęgi x równej nawiasom otwierającym 2 do potęgi 5 nawiasy zamykające do potęgi 1 trzeciego końca wykładniczego

Mnożąc wykładniki, równamy podstawy.

2 do potęgi 2 x koniec wykładnika równe 2 do potęgi 5 przez 3 koniec wykładnika

Dlatego musimy:

2 proste x równa się 5 przez 3 proste x równa się licznik 5 przez mianownik 2,3 koniec ułamka równa się 5 przez 6

Przykład 5

Faktoring 25

otwarte nawiasy 5 kwadratowych nawiasów zamkniętych do potęgi prostej x minus 6,5 do potęgi prostej x dodać 5 równa się 0

Przepisujemy potęgę 5² do x. Zmiana kolejności wykładników.

otwieranie nawiasów 5 do potęgi x zamykanie nawiasów do kwadratu minus 6,5 do potęgi prostej x plus 5 równa się 0

Używamy zmiennej pomocniczej, którą nazwiemy y.

5 do potęgi prostej x równa się prostej y (zachowaj to równanie, użyjemy go później).

Podstawiając do poprzedniego równania.

proste y kwadrat minus 6. proste y plus 5 równa się 0 proste y kwadrat minus 6 proste y plus 5 równa się 0

Rozwiązując równanie kwadratowe, mamy:

przyrost wynosi b kwadrat minus 4. The. c przyrost równa się lewy nawias minus 6 prawy nawias do kwadratu minus 4.1.5 przyrost równa się 36 minus 20 przyrost równa się 16

prosta y z 1 indeksem dolnym równa się licznik minus prosta b plus pierwiastek kwadratowy przyrostu przez mianownik 2. prosto na koniec ułamka prostego y z 1 indeksem dolnym równym licznikowi minus lewy nawias minus 6 prawy nawias plus pierwiastek kwadratowy z 16 nad mianownikiem 2.1 koniec ułamka prostego y z 1 indeksem dolnym równym licznikowi 6 plus 4 nad mianownikiem 2 koniec ułamka równego 10 przez 2 równa 5

prosta y z indeksem dolnym 2 równa się licznik minus prosta b minus pierwiastek kwadratowy przyrostu przez mianownik 2. prosto do końca ułamka prostego y z 2 indeksem dolnym równym licznikowi 6 minus 4 przez mianownik 2 koniec ułamka równego 2 przez 2 równe 1

Rozwiązaniem równania kwadratowego jest {1, 5}, jednak nie jest to rozwiązanie równania wykładniczego. Musimy wrócić do zmiennej x, używając 5 do potęgi prostej x równa się prostej y.