Do operacje na zbiorach są to suma, przecięcie i różnica. Wynikiem każdej z tych operacji jest nowy zbiór. Aby wskazać sumę zbiorów, używamy symbolu ∪; dla przecięcia symbol ∩; i dla różnicy, symbol odejmowanie\(-\). W przypadku różnicy należy koniecznie zachować kolejność wykonywania operacji. Innymi słowy, jeśli A i B są zbiorami, to różnica między A i B jest inna niż różnica między B i A.
Przeczytaj też: Diagram Venna — geometryczna reprezentacja zbiorów i operacji pomiędzy nimi
Podsumowanie operacji na zbiorach
Operacje na zbiorach to: suma, przecięcie i różnica.
Suma (lub spotkanie) zbiorów A i B to zbiór A ∪ B, utworzony przez elementy należące do A lub należące do B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ lub\ x∈B\}\)
Przecięciem zbiorów A i B jest zbiór A ∩ B, utworzony przez elementy należące do A i należące do B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ i\ x∈B\}\)
Różnicą między zbiorami A i B jest zbiór A – B, utworzony z elementów należących do A i nie należących do B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Jeżeli U (tzw. zbiór wszechświatowy) jest zbiorem zawierającym wszystkie zbiory w danym kontekście, to różnica U – A, przy A ⊂ U, nazywana jest dopełnieniem A. Dopełnienie A tworzą elementy, które nie należą do A i są reprezentowane przez
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Lekcja wideo na temat operacji na zbiorach
Jakie są trzy operacje na zbiorach?
Trzy operacje z zestawami są to: suma, przecięcie i różnica.
Suma zbiorów
Suma (lub spotkanie) zbiorów A i B to zbiór A ∪ B (czytaj „Suma B”). Zbiór ten składa się ze wszystkich elementów należących do zbioru A Lub należą do zbioru B, tj elementy należące do co najmniej jednego ze zbiorów.
Reprezentując elementy A ∪ B przez x, piszemy
\(A∪B=\{x; x∈A\ lub\ x∈B\}\)
Na poniższym obrazku pomarańczowy obszar to ustawić A ∪B.
Wydaje się to trudne? Spójrzmy na dwa przykłady!
Przykład 1:
Jaki jest zbiór A ∪ B, jeśli A = {7, 8} i B = {12, 15}?
Zbiór A ∪ B tworzą elementy należące do A Lub należą do B. Ponieważ elementy 7 i 8 należą do zbioru A, to oba muszą należeć do zbioru A ∪ B. Ponadto, ponieważ elementy 12 i 15 należą do zbioru B, to oba muszą należeć do zbioru A ∪ B.
Dlatego,
ZA ∪ B={7, 8, 12, 15}
Zauważ, że każdy z elementów A∪B należy albo do zbioru A, albo do zbioru B.
Przykład 2:
Rozważmy zbiory A = {2, 5, 9} i B = {1, 9}. Co to jest zbiór A ∪ B?
Ponieważ elementy 2, 5 i 9 należą do zbioru A, to wszystkie muszą należeć do zbioru A∪B. Ponadto, ponieważ elementy 1 i 9 należą do zbioru B, to wszystkie muszą należeć do zbioru A ∪ B.
Zauważ, że dwukrotnie wspomnieliśmy o 9, ponieważ ten element należy do zbioru A i zbioru B. Mówiąc, że „zbiór A ∪ B tworzą elementy należące do A Lub należą do B” nie wyklucza elementów, które jednocześnie należą do zbiorów A i B.
Tak więc w tym przykładzie mamy
ZA ∪ B={1, 2, 5, 9}
Zauważ, że element 9 piszemy tylko raz.
Przecięcie zbiorów
Przecięciem zbiorów A i B jest zbiór A ∩ B (czytaj „Przecięcie B”). Zbiór ten składa się ze wszystkich elementów należących do zbioru A To jest należą do zbioru B. Inaczej mówiąc, A ∩ B składa się ze wspólnych elementów zbiorów A i B.
Wskazując elementy A ∩ B przez x, piszemy
\(A∩B=\{x; x∈A\ i\ x∈B\}\)
Na poniższym obrazku pomarańczowy obszar to ustawić A ∩B.
Rozwiążmy dwa przykłady dotyczące przecięcia zbiorów!
Przykład 1:
Rozważmy A = {-1, 6, 13} i B = {0, 1, 6, 13}. Jaki jest zbiór A ∩ B?
Zbiór A ∩ B tworzą wszystkie elementy należące do zbioru A To jest należą do zbioru B. Należy zauważyć, że elementy 6 i 13 należą jednocześnie do zbiorów A i B.
Lubię to,
A ∩ B={6, 13}
Przykład 2:
Jakie jest przecięcie zbiorów A = {0,4} i \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Należy zauważyć, że zbiory A i B nie mają wspólnego elementu. Zatem przecięcie jest zbiorem bez elementów, czyli zbiorem pustym.
Dlatego,
\(\)ZA ∩ B={ } = ∅
Różnica między zestawami
Różnica między zbiorami A i B to zbiór A – B (czytaj „różnica między A i B”). Zestaw ten składa się z wszystkie elementy należące do zbioru A i nie należące do zbioru B.
Przedstawmy elementy A – B przez x, piszemy
\(A-B=\{x; x∈A\ i\ x∉B\}\)
Na poniższym obrazku pomarańczowy obszar to zestawA – B.
Uwaga: różnica między zbiorami A i B nie jest różnicą między zbiorami B i A, ponieważ B – A tworzą wszystkie elementy, które należą do zbioru B i nie należą do zbioru A.
Rozważ dwa poniższe przykłady dotyczące różnic między zestawami.
Przykład 1:
Jeśli A = {-7, 2, 100} i B = {2, 50}, to jaki jest zbiór A – B? A co ze zbiorem B – A?
ZbiórA–B składa się ze wszystkich elementów należących do zbioru A To jestNIE należą do zbioru B. Zauważ, że 2 jest jedynym elementem zbioru A, który również należy do zbioru B. Zatem 2 nie należy do zbioru A – B.
Dlatego,
A – B = {-7, 100}
Ponadto zbiór B – A tworzą wszystkie elementy należące do zbioru B To jestNIE należą do zbioru A. Dlatego,
B – A = {50}
Przykład 2:
Jaka jest różnica między zbiorem A = {–4, 0} a zbiorem B = {–3}?
Zauważ, że żaden z elementów A nie należy do B. Zatem różnica A – B jest samym zbiorem A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Obserwacja: Rozważmy, że U (zwane zbiorem wszechświatowym) jest zbiorem, który zawiera wszystkie inne zbiory w danej sytuacji. Lubię to, różnica U – A, z A⊂U, jest zbiorem nazywanym komplementarnym do A i przedstawiany jako \(PNE\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Na poniższym obrazku prostokąt to zbiór wszechświata, a pomarańczowy obszar to zbiór wszechświata \(PNE\).
Wiedzieć więcej: Krok po kroku jak dokonać podziału
Rozwiązane ćwiczenia dotyczące operacji na zbiorach
Pytanie 1
Rozważ zbiory A = {–12, –5, 3} i B = {–10, 0, 3, 7} i sklasyfikowaj każde poniższe stwierdzenie jako T (prawda) lub F (fałsz).
I. ZA ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. ZA ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Prawidłowa kolejność od góry do dołu to
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Rezolucja
I. FAŁSZ.
Element 0 musi należeć do sumy A i B, ponieważ 0 ∈ B. Zatem A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. PRAWDA.
III. PRAWDA.
Alternatywa B.
pytanie 2
Rozważmy A = {4, 5}, B = {6,7} i C = {7,8}. Zatem zbiór A ∪ B ∩ C wynosi
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
mi) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rezolucja
Zauważ, że A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Zatem zbiór A ∪ B ∩ C jest punktem przecięcia A ∪ B = {4, 5, 6, 7} i C = {7,8}. Wkrótce,
ZA ∪ B ∩ do = {7}
Alternatywa A.
Źródła
LIMA, Elon L.. Kurs analizy. 7 wyd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. wersja 1.
LIMA, Elon L. i in. Matematyka w szkole średniej. 11. wyd. Kolekcja nauczycieli matematyki. Rio de Janeiro: SBM, 2016. wersja 1.
