O tom kulioblicza się na podstawie pomiaru jego promienia. Kula to geometryczny kształt, który ma trzy wymiary. Głównymi elementami kuli są jej promień i średnica. Objętość kuli oblicza się za pomocą specjalnego wzoru, który zostanie przedstawiony poniżej. Oprócz objętości możemy obliczyć pole powierzchni kuli.
Przeczytaj też: Jak obliczyć objętość cylindra
Podsumowanie objętości kuli
- Kilka przedmiotów, które spotykamy na co dzień, ma kształt kulisty, np. piłka nożna.
- Głównymi elementami kuli są jej promień i średnica.
- Aby obliczyć objętość kuli, korzystamy ze wzoru:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Istnieją inne ważne wzory, takie jak wzór na pole kuli: \(A=4\pi r^2\).
Lekcja wideo na temat objętości kuli
Co to jest kula?
Kula to pojedynczy trójwymiarowy kształt, zdefiniowany jako trójwymiarowa figura, której punkty są jednakowo oddalone od jej środka. Jest to jeden z najbardziej symetrycznych kształtów i jest obecny w naszym świecie na wiele sposobów. Obecność sfery możemy dostrzec w przyrodzie, w ludzkim ciele, podczas badań planet i w innych sytuacjach naszego codziennego życia.
Kula jest bryłą geometryczną. Przykładami kul są bilard, piłka nożna i koszykówka. Składa się ze wszystkich punktów znajdujących się w stałej odległości od centralnego punktu zwanego środkiem kuli. Ta stała odległość nazywana jest promieniem kuli.
Elementy kuli
Kula ma kilka interesujących części:
- Centrum: jak sama nazwa wskazuje, jest to punkt znajdujący się w środku kuli.
- Średnica: odcinek linii prostej łączący dwa przeciwne punkty kuli, przechodzący przez środek.
- Promień: odcinek biegnący od środka do dowolnego punktu na powierzchni.
- Powierzchnia: zewnętrzna warstwa kuli.
- Wewnątrz: przestrzeń wewnątrz kuli.
Jak obliczyć objętość kuli?
Obliczana jest objętość kuli według formuły:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: jest objętością kuli.
- A: jest promieniem kuli.
- π: jest stałą.
Ostała wartość πnajczęściej używany to około 3,14, ale możemy to rozważyć π równy w przybliżeniu 3 lub w przybliżeniu 3,1, a nawet w przybliżeniu 3,1415, w zależności od tego, ile miejsc po przecinku chcemy wziąć pod uwagę, ponieważ π jest liczbą niewymierną, a liczby niewymierne mają nieskończoną liczbę miejsc po przecinku.
- Przykład:
Kula ma promień 6 cm. Jaka jest objętość tej kuli, biorąc to pod uwagę π=3?
Rezolucja:
Obliczając objętość kuli mamy:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\cm^3\)
Zatem objętość tej kuli wynosi 864 cm3.
Kolejna formuła kuli
Oprócz przedstawionego wzoru na obliczenie objętości kuli istnieje jeszcze jeden ważny wzór, jakim jest wzór na pole powierzchni. Aby obliczyć powierzchnię kuli, należy skorzystać ze wzoru:
\(A=4\pi r^2\)
A powierzchnia kuli to nic innego jak obszar otaczający kulę. Na przykład w plastikowej kuli kula to cała kula, a powierzchnia to obszar plastiku stanowiący kontur tej kuli.
- Przykład:
Jaka jest powierzchnia kuli o promieniu 5 cm?
Rezolucja:
Jako wartość π, nie zastąpimy go żadną wartością, zatem:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Pole tej kuli wynosi W 100πcM2.
Wiedzieć więcej: Jaka jest różnica między obwodem, okręgiem i kulą?
Rozwiązane ćwiczenia dotyczące objętości kuli
Pytanie 1
Kulisty przedmiot ma promień 6 cm. Następnie objętość tego obiektu (przy użyciu π=3,14) jest w przybliżeniu równa:
A) 314,42 cm3
B) 288,00 cm3
C) 424,74 cm3
D) 602,38 cm3
E) 904,32 cm3
Rezolucja:
Alternatywa E
Podstawienie do wzoru wartości podanych w zestawieniu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), mamy:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\około288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
pytanie 2
Pojemnik ma kształt kulisty. Wiadomo, że ma objętość W 288π cm³. Znając jego objętość, możemy wówczas stwierdzić, że miara promienia tego pojemnika wynosi:
A) 3 cm
B) 4cm
C) 5cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Rezolucja:
Alternatywa D
Wiemy to \(V=288\pi\).
Podstawienie do wzoru wartości podanych w zestawieniu \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), mamy \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Anulowanie π po obu stronach i mnożenie krzyżowe:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\cm\)
Źródła
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Podstawy matematyki elementarnej: Geometria przestrzenna, tom. 10, 6. wyd. São Paulo: prąd, 2005.
LIMA, E. i.t. glin. Matematyka w szkole średniej. Głośność 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
