A korzenie Jest to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i wzmacnianie. W ten sam sposób, w jaki odejmowanie jest odwrotną operacją dodawania, a dzielenie jest odwrotnością mnożenia, tak radiacja jest odwrotną operacją wzmacniania. Zatem dla naprawdę dodatnich x i y oraz liczby całkowitej n (większej lub równej 2), jeśli x podniesione do n jest równe y, możemy powiedzieć, że n-ty pierwiastek z y jest równy x. W notacji matematycznej: \(x^n=y\Strzałka w prawo\sqrt[n]{y}=x\).
Przeczytaj też:Potencjacja i radiacja ułamków – jak to zrobić?
Podsumowanie dotyczące rootowania
Rootyfikacja jest operacją matematyczną.
Promieniowanie i wzmocnienie są operacjami odwrotnymi, to znaczy dla dodatnich x i y, \(x^n=y\Strzałka w prawo\sqrt[n]{y}=x\).
Obliczenie n-tego pierwiastka liczby y oznacza znalezienie liczby x takiej, że x podniesione do n równa się y.
Odczyt pierwiastka zależy od indeksu n. Jeśli n = 2, nazywamy to pierwiastkiem kwadratowym, a jeśli n = 3, nazywamy to pierwiastkiem sześciennym.
W operacjach na pierwiastkach używamy terminów o tym samym indeksie.
Promieniowanie ma ważne właściwości, które ułatwiają jego obliczenia.
Lekcja wideo na temat rootowania
Reprezentacja korzenia
Aby reprezentować zakorzenienie, musimy wziąć pod uwagę trzy związane z tym elementy: radicand, indeks i korzeń. Symbol \(√\) nazywa się radykałem.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
W tym przykładzie y to radikand, n to indeks, a x to pierwiastek. Brzmi ono: „n-ty pierwiastek z y to x”. Podczas gdy x i y reprezentują dodatnie liczby rzeczywiste, n oznacza liczbę całkowitą równą lub większą niż 2. Należy zauważyć, że dla n = 2 wskaźnik można pominąć. Więc na przykład \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Promieniowanie możemy przedstawić za pomocą pierwiastka z wykładnikiem ułamkowym. Formalnie mówimy, że n-ty pierwiastek z \(y^m\) można zapisać jako y podniesione do wykładnika ułamkowego \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Zobacz przykłady:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Różnice między promieniowaniem a wzmocnieniem
Wzmocnienie i promieniowanie są odwrotnymi operacjami matematycznymi. Oznacza to, że jeśli \(x^n=y\), Następnie \(\sqrt[n]{y}=x\). Wydaje się to trudne? Spójrzmy na kilka przykładów.
Jeśli \(3^2=9\), Następnie \(\sqrt[2]{9}=3\).
Jeśli \(2^3=8\), Następnie \(\sqrt[3]{8}=2\).
Jeśli \(5^4=625\), Następnie \(\sqrt[4]{625}=5\).
Jak czytać root?
Aby przeczytać korzeń, musimy wziąć pod uwagę indeks N. Jeśli n = 2, nazywamy to pierwiastkiem kwadratowym. Jeśli n = 3, nazywamy to pierwiastkiem sześciennym. Dla wartości N większe, używamy nomenklatury liczb porządkowych: pierwiastek czwarty (jeśli n = 4), pierwiastek piąty (jeśli n = 5) i tak dalej. Zobacz kilka przykładów:
\(\sqrt[2]{9}\) – pierwiastek kwadratowy z 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – pierwiastek sześcienny z 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – czwarty pierwiastek z 625.
Jak obliczyć pierwiastek z liczby?
Poniżej zobaczymy, jak obliczyć pierwiastek z dodatniej liczby rzeczywistej. Aby obliczyć pierwiastek liczby, musimy rozważyć powiązaną operację odwrotną. Oznacza to, że jeśli szukamy n-tego pierwiastka liczby y, musimy szukać liczby x takiej, że \(x^n=y\).
W zależności od wartości y (czyli radicandu) proces ten może być prosty lub pracochłonny. Spójrzmy na kilka przykładów obliczania pierwiastka liczby.
Przykład 1:
Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 144?
Rezolucja:
Nazwijmy szukaną liczbę x, czyli \(\sqrt{144}=x\). Zauważ, że oznacza to szukanie liczby x takiej, że \(x^2=144\). Przetestujmy niektóre możliwości z liczbami naturalnymi:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Dlatego, \(\sqrt{144}=12\).
Przykład 2:
Jaki jest pierwiastek sześcienny ze 100?
Rezolucja:
Nazwijmy szukaną liczbę x, czyli \(\sqrt[3]{100}=x\). To znaczy że \(x^3=100\). Przetestujmy kilka możliwości:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Zauważ, że szukamy liczby z zakresu od 4 do 5, ponieważ \(4^3=64\) To jest \(5^3=125\). Przetestujmy więc niektóre możliwości z liczbami od 4 do 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Jak \(4,6^3 \) jest liczbą bliską i mniejszą niż 100, możemy powiedzieć, że 4,6 jest przybliżeniem pierwiastka sześciennego ze 100. Dlatego, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Ważny:Kiedy pierwiastek jest liczbą wymierną, mówimy, że pierwiastek jest dokładny; w przeciwnym razie korzeń nie jest dokładny. W powyższym przykładzie określamy zakres pomiędzy dokładnymi pierwiastkami, w których znajduje się szukany pierwiastek:
\(\sqrt[3]{64>
\(4
Strategia ta jest bardzo przydatna do obliczania przybliżeń pierwiastka.
Operacje z rodnikami
W operacjach na pierwiastkach używamy terminów o tym samym indeksie. Mając to na uwadze, przeczytaj uważnie poniższe informacje.
→ Dodawanie i odejmowanie między rodnikami
Aby rozwiązać dodawanie lub odejmowanie między rodnikami, musimy obliczyć pierwiastek każdego rodnika osobno.
Przykłady:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Ważny: Na pierwiastkach nie można wykonywać operacji dodawania i odejmowania. Należy pamiętać, że na przykład operacja \(\sqrt4+\sqrt9\) skutkuje inną liczbą \(\sqrt{13}\), choćby \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Aby rozwiązać mnożenie lub dzielenie rodników, możemy obliczyć pierwiastek każdego rodnika osobno, ale możemy również skorzystać z właściwości promieniowania, które zobaczymy poniżej.
Przykłady:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Jakie są właściwości promieniowania?
→ Właściwość 1 promieniowania
Jeśli y jest liczbą dodatnią, to n-ty pierwiastek z \(t^n\) jest równe y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Zobacz przykład:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Właściwość ta jest szeroko stosowana do upraszczania wyrażeń z pierwiastkami.
→ Własność 2 promieniowania
N-ty pierwiastek iloczynu \(y⋅z\) jest równy iloczynowi n-tych pierwiastków y i z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Zobacz przykład:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Ważny: Jest to bardzo przydatne, gdy obliczamy pierwiastek dużej liczby rozłożyć na czynniki (rozłożyć) radicand na liczby pierwsze i zastosuj właściwości 1 i 2. Zobacz poniższy przykład, w którym chcemy obliczyć \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Lubię to,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Właściwość 3zakorzenienia
N-ty pierwiastek ilorazu \(\frac{y}z\), z \(z≠0\), jest równy ilorazowi n-tych pierwiastków y i z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Zobacz przykład:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Właściwość 4 promieniowania
N-ty pierwiastek z y podniesiony do wykładnika m jest równy n-temu pierwiastkowi z \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Zobacz przykład:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Zobacz też: Jakie są właściwości wzmocnienia?
Rozwiązane ćwiczenia dotyczące promieniowania
Pytanie 1
(FGV) Uproszczenie \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), dostajesz:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Rezolucja:
Alternatywa C.
Zauważ, że korzystając z właściwości promieniowania, mamy
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
W ten sposób możemy przepisać wyrażenie stwierdzenia jako
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Umieszczenie terminu \(\sqrt3\) dowodów, stwierdzamy, że
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
pytanie 2
(Cefet) Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 0,75, aby pierwiastek kwadratowy z otrzymanego iloczynu był równy 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Rezolucja:
Alternatywa A.
Szukana liczba to x. Zatem, jak wynika z oświadczenia,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Dlatego,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
