Jest znany jako Liczba wymierna każdy numer, który można przedstawić jako ułamek nieredukowalny. Przez całą historię ludzkości idea liczby była stopniowo rozwijana zgodnie z ludzkimi potrzebami. Reprezentacja liczb w ułamkach, na przykład rozwiązane problemy, które zostały rozwiązane tylko za pomocą wszystkie liczby.
Liczbę wymierną można przedstawić z ułamka, więc istnieją metody przekształcania liczb całkowitych, liczby dziesiętne dokładne i okresowe ułamki dziesiętne w ułamkach zwykłych.
Przeczytaj też: Operacje na ułamkach – jak rozwiązać?
Czym są liczby wymierne?
Liczby wymierne to rozszerzenie zbioru liczb całkowitych, następnie, oprócz liczb całkowitych, zostały dodane wszystkie frakcje. O zestaw liczb wymiernych jest reprezentowana przez:
Ta reprezentacja mówi, że liczba jest wymierna, jeśli można ją przedstawić jako ułamek o b, taki, że jest liczbą całkowitą i b jest niezerową liczbą całkowitą. Ale jeśli mamy mniej rygorystycznie definiować liczby wymierne, możemy powiedzieć, co następuje:
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można przedstawić jako ułamek. |
Poznaj tę definicję:
ty liczby całkowites, na przykład: -10, 7, 0;
ty dokładne liczby dziesiętne, na przykład: 1,25; 0,1; 3,1415;
w proste okresowe dziesięciny, na przykład: 1.424242…;
w składane okresowe dziesięciny, na przykład: 1.0288888…
Nie są liczbami wymiernymi:
W nieokresowe dziesięciny, na przykład: 4,1239489201…;
W korzenieniedokładnie, na przykład:
;- TEN żabajaz kwadrat liczby ujemne, na przykład:
.
Obserwacja: Istnienie liczb niewymiernych powoduje pojawienie się innych zbiorów, takich jak liczby niewymierne i Liczby zespolone.
Reprezentacja liczb wymiernych
Zrozumienie, że ułamek to a podział dwóch liczb całkowitych, aby być liczbą wymierną, możesz przedstawić tę liczbę jako ułamek. Dlatego każdy z przypadków wymienionych powyżej jako liczby wymierne (liczby całkowite, dokładne dziesiętne i okresowe dziesiętne) można przedstawić jako ułamek.
liczby całkowite
Istnieją nieskończone możliwości reprezentowania liczby całkowitej jako ułamka, ponieważ ułamek może być reprezentowany w formie nieredukowalnej lub nie.
Przykłady:
dokładne ułamki dziesiętne
Aby zamienić dokładną liczbę dziesiętną na a frakcja, liczymy liczbę liczb w części dziesiętnej, czyli po przecinku. Jeśli po przecinku jest liczba, zapiszemy część całkowitą plus część dziesiętną bez przecinka powyżej 10. Jeśli w części dziesiętnej są dwie liczby powyżej 100, to w praktyce ilość liczb w części dziesiętnej będzie równa ilości zer, które mamy w mianowniku. Zobacz przykład:
okresowe dziesięciny
Znalezienie ułamkowej reprezentacji dziesięciny nie zawsze jest łatwym zadaniem, co nazywamy generowanie frakcji. W celu ułatwienia tej pracy zaobserwowano, że w równaniu, którego użyliśmy do znalezienia ułamka tworzącego, występują prawidłowości, które pozwoliły na opracowanie praktycznej metody.
Po pierwsze, musimy zrozumieć, że istnieją dwa rodzaje okresowych dziesięciny, proste i złożone. Jeden dziesięcina jest prosta jeśli w części dziesiętnej występuje tylko część, która się powtarza, to znaczy kropka. Jeden dziesięcina jest złożona jeśli w części dziesiętnej występuje część nieokresowa.
Przykład:
9 323232… → prosty okresowy dziesiętny
Część całkowita równa się 9.
Okres wynosi 32.
8,7151515… → złożona okresowa dziesięcina
Część całkowita równa się 8.
Nieokresowa część dziesiętna jest równa 7.
Okres wynosi 15.
Zobacz też: Ułamki ekwiwalentne - ułamki, które reprezentują tę samą ilość
→ 1. przypadek: generowanie ułamka prostego okresowego dziesiętnego
W pierwszym przypadku, aby zamień prosty okresowy dziesiętny na ułamek zwykły metodą praktyczną wystarczy napisać całą część plus kropkę bez przecinka w liczniku. W mianowniku dla każdego pierwiastka w części okresowej dodajemy 9.
Przykład:
Ułamek generujący 9.323232…, jak widzieliśmy, ma okres równy 32, czyli dwie liczby w swoim okresie, więc mianownik to 99. Część całkowita plus część okresowa bez przecinka to 932, który jest licznikiem. Tak więc tworząca część tej dziesięciny to:
→ Drugi przypadek: generowanie ułamka ułamka złożonego okresowego dziesiętnego
Okresowa składana dziesięcina jest nieco bardziej pracochłonna. Znajdźmy w tym przykładzie ułamek generujący dziesięcinę, nad którą pracowaliśmy.
8,7151515… → złożony okresowy dziesiętny.
Część całkowita równa się 8.
Nieokresowa część dziesiętna jest równa 7.
Część dziesiętna okresu wynosi 15.
Licznikiem będzie odejmowanie 8715 – 87, czyli różnica między liczbą, która przechodzi od całej części do części okresowej z nie powtarzającą się częścią dziesięciny.
Licznik będzie równy 8715 – 87 = 8628.
Aby znaleźć mianownik, przeanalizujmy część dziesiętną. Najpierw spójrzmy na nieokresową i okresową część dziesiętną. W tym przypadku dziesiętna część liczby to 715. Dla każdej liczby znajdującej się w części okresowej dodajmy a 9 na początku mianownika. Ponieważ część okresowa w tym przypadku ma dwie liczby (15), w mianowniku będą dwie dziewiątki. Dla każdej liczby w części dziesiętnej, która nie jest okresowa, dodamy a 0 na końcu mianownika, którym będzie 990.
Wkrótce generowanie frakcji dziesięciny będzie:
Własności liczb wymiernych
Między dwiema liczbami wymiernymi zawsze będzie inna liczba wymierna
Interesujące jest myślenie o tej właściwości, o której dużo dyskutowały starożytne ludy, stając się paradoksem. Wybierając dwie liczby wymierne, zawsze będzie między nimi liczba.
Przykład:
Między 1 a 2 jest 1,5; między 1 a 1,5 jest 1,25; między 1 a 1,25 jest 1,125 i tak dalej. O ile wybieram dwie liczby wymierne z bardzo małą różnicą między nimi, zawsze można znaleźć między nimi liczbę wymierną. Ta właściwość sprawia, że niemożliwe do zdefiniowania następcy i poprzednika w liczbach wymiernych.
Cztery operacje na zbiorze liczb wymiernych są domknięte
Mówimy, że zestaw jest zamknięty na suma, na przykład, jeśli suma dwóch liczb wymiernych zawsze generuje inną liczbę wymierną jako odpowiedź. Tak dzieje się z czterema operacjami na Q.
TEN dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie między dwiema liczbami wymiernymi zawsze da w wyniku liczbę wymierną. W rzeczywistości nawet wzmocnienie liczby wymiernej zawsze wygeneruje w odpowiedzi liczbę wymierną.
Zbiór liczb wymiernych nie jest zamknięty dla napromieniowanie. A zatem, miponieważ 2 jest liczbą wymierną, pierwiastek kwadratowy z 2 to a Liczba niewymierna.
Zobacz też: Ułamki ekwiwalentne - ułamki, które reprezentują tę samą ilość
Podzbiory liczb wymiernych
Wiemy jak podzbiory lub relacji inkluzji zbiorów utworzonych przez elementy należące do zbioru liczb wymiernych. Istnieje kilka możliwych podzbiorów, jako zbiór liczb całkowitych lub naturalny, ponieważ każda liczba całkowita jest wymierna, tak jak każda liczba naturalna jest wymierna.
Przykład:
Zbiór liczb całkowitych: Z= {…-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, …}.
Kiedy tak się dzieje, mówimy, że Z ⸦ Q (Brzmi: Z jest zawarte w Q lub zbiór liczb całkowitych jest zawarty w zbiorze liczb wymiernych.)
Istnieje kilka symboli, które są niezbędne do tworzenia podzbiorów Q, są to: +,- i *, które oznaczają odpowiednio dodatni, ujemny i niezerowy.
Przykłady:
Q* → (czyta: zbiór niezerowych liczb wymiernych.)
Q+ → (czytaj: zbiór dodatnich liczb wymiernych.)
Q- → (czytaj: zbiór ujemnych liczb wymiernych.)
Q*+ → (czyta: zbiór liczb wymiernych dodatnich i niezerowych.)
Q*- → (czyta: zbiór liczb wymiernych ujemnych i niezerowych.)
Zauważ, że wszystkie te zbiory są podzbiorami Q, ponieważ wszystkie elementy należą do zbioru liczb wymiernych. Oprócz przedstawionych zestawów możemy pracować z kilkoma podzbiorami w Q, takimi jak zestaw utworzony przez liczby nieparzyste, lub kuzyni, czyli pary, w końcu istnieje kilka i kilka możliwości podzbiorów.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm