suma i produkt Jest to metoda służąca do znajdowania rozwiązań a równanie. Używamy sumy i iloczynu jako metody obliczania pierwiastków a Równanie 2 stopnia, typu ax² + bx + c = 0.
Jest to interesująca metoda, gdy rozwiązania równania są wszystkie liczby. W przypadkach, gdy rozwiązania nie są liczbami całkowitymi, użycie sumy i iloczynu wraz z innymi prostszymi metodami do znalezienia rozwiązań równania może być dość skomplikowane.
Przeczytaj też: Bhaskara — najbardziej znana formuła rozwiązywania równań kwadratowych
Podsumowanie sumy i produktu
- Suma i iloczyn to jedna z metod stosowanych do znajdowania rozwiązań pełnego równania kwadratowego.
- Z sumy i iloczynu, biorąc pod uwagę równanie drugiego stopnia ax² + bx + c = 0, mamy:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 To jest X2 są rozwiązaniami równania kwadratowego.
- a, b i c to współczynniki równania drugiego stopnia.
Co to jest suma i produkt?
Suma i produkt to jedna z metod, których możemy użyć do znalezienia rozwiązań równania. Używane w równaniach drugiego stopnia suma i iloczyn mogą być bardziej praktyczną metodą znajdowania rozwiązań równanie, ponieważ polega na szukaniu liczb spełniających wzór na sumę i iloczyn dla danego równanie.
Formuła sumy i iloczynu
W równaniu kwadratowym typu ax² + bx + c = 0, z rozwiązaniami równymi x1 i x2, według sumy i iloczynu, mamy:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Jak obliczyć pierwiastki za pomocą sumy i iloczynu?
Aby znaleźć rozwiązania, najpierw szukamy liczb całkowitych, których iloczyn jest równy \(\frac{c}{a}\).
Wiemy, że rozwiązania równania mogą być dodatnie lub ujemne:
- Iloczyn dodatni i suma dodatnia: oba pierwiastki są dodatnie.
- Iloczyn dodatni i suma ujemna: oba pierwiastki są ujemne.
- Iloczyn ujemny i suma dodatnia: jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi ujemny, a pierwiastek o największym module jest dodatni.
- Produkt ujemny i suma ujemna: jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi ujemny, a pierwiastek o największym module jest ujemny.
Później, po wypisaniu wszystkich produktów spełniających równanie, analizujemy, który z nich spełnia równanie. równanie sumy, czyli jakie są dwie liczby, które spełniają równanie iloczynu i sumy jednocześnie.
Przykład 1:
Znajdź rozwiązania równania:
\(x²-5x+6=0\)
Najpierw podstawimy do formuły sumy i iloczynu. Mamy, że a = 1, b = -5 i c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Ponieważ suma i iloczyn są dodatnie, pierwiastki są dodatnie. Analizując produkt wiemy, że:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Teraz sprawdzimy, który z tych wyników ma sumę równą 5, czyli w tym przypadku:
\(2+3=5\)
Zatem rozwiązania tego równania to \(x_1=2\ i\ x_2=3\).
Przykład 2:
Znajdź rozwiązania równania:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Najpierw podstawimy do formuły sumy i iloczynu. Mamy a = 1, b = 2 i c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Ponieważ suma i iloczyn są ujemne, pierwiastki mają przeciwne znaki, a ten, który ma największy moduł, jest ujemny. Analizując produkt wiemy, że:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Teraz sprawdźmy, który z tych wyników ma sumę równą -2, co w tym przypadku wynosi:
\(4+\lewo(-6\prawo)=-2\)
Zatem rozwiązania tego równania to \(x_1=4\ i\ x_2=-6\) .
Przeczytaj też: Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe
Rozwiązane ćwiczenia na sumę i iloczyn
Pytanie 1
Być y To jest z pierwiastki równania 4X2-3X-1=0, wartość 4(y+4)(z+4) é:
75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Rezolucja:
Alternatywa A
Obliczanie według sumy i iloczynu:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Musimy więc:
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\lewo(-\frac{1}{4}+4\lewo (y+z\prawo)+16\prawo )\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\lewo(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ Prawidłowy)\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\lewo(-\frac{1}{4}+3+16\prawo)\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\lewo(-\frac{1}{4}+19\prawo)\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\lewo(\frac{76-1}{4}\prawo)\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\lewo (y+4\prawo)\lewo (z+4\prawo)=75\)
pytanie 2
Biorąc pod uwagę równanie 2X2 + 8x + 6 = 0, niech S będzie sumą pierwiastków tego równania, a P będzie iloczynem pierwiastków równania, a następnie wartością operacji (S - P)2 é:
36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Rezolucja:
Alternatywa B
Obliczanie według sumy i iloczynu:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Musimy więc:
\(\lewo(-4-3\prawo)^2=\lewo(-7\prawo)^2=49\)
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm