Faktoryzacja wyrażeń algebraicznych

wyrażenia algebraiczne to wyrażenia, które wyświetlają liczby i zmienne, i sprawiają, że faktoryzacja wyrażeń algebraicznych oznacza zapisanie wyrażenia jako iloczynu dwóch lub więcej terminów.

Rozkładanie wyrażeń algebraicznych na czynniki może ułatwić wiele obliczeń algebraicznych, ponieważ rozkładając je na czynniki, możemy uprościć wyrażenie. Ale jak rozkładać wyrażenia algebraiczne na czynniki?

Zobacz więcej

Studenci z Rio de Janeiro powalczą o medale na igrzyskach olimpijskich…

Instytut Matematyki rozpoczyna rejestrację na Igrzyska Olimpijskie…

Aby rozłożyć wyrażenia algebraiczne na czynniki, używamy technik, które zobaczymy dalej.

faktoring przez dowody

Faktoring przez dowody polega na podkreśleniu wspólnego terminu w wyrażeniu algebraicznym.

Ten wspólny termin może być po prostu liczbą, zmienną lub mnożeniem dwóch, to znaczy jest to a jednomian.

Przykład:

rozłóż wyrażenie na czynniki $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

Zauważ, że w obu terminach tego wyrażenia pojawia się zmienna $\dpi{120} \mathrm{x}$ , więc umieśćmy to jako dowód:

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

Faktoring przez grupowanie

instagram story viewer

Na faktoring wggrupowanie, grupujemy terminy, które mają wspólny czynnik. Następnie wysuwamy wspólny czynnik na pierwszy plan.

Zatem wspólnym czynnikiem jest a wielomian i nie jest już jednomianem, jak w poprzednim przypadku.

Przykład:

rozłóż wyrażenie na czynniki $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Zauważ, że wyrażenie jest utworzone przez sumę kilku terminów i że w niektórych terminach się pojawia $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ a w innych się pojawia $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Przepiszmy to wyrażenie, grupując te terminy razem:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

Wstawmy zmienne $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ To jest $\dpi{120} \mathrm{y}$ na widoku:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Teraz zobaczcie ten termin $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ można przepisać jako $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , z którego możemy również wstawić liczbę 2 jako dowód:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

jak wielomian $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ pojawia się w obu terminach, możemy to jeszcze raz udowodnić:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Dlatego, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

Rozkładanie na czynniki różnicy dwóch kwadratów

Jeśli wyrażenie jest różnicą dwóch kwadratów, można je zapisać jako iloczyn sumy podstaw i różnicy podstaw. To jeden z godne uwagi produkty:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Przykład:

rozłóż wyrażenie na czynniki $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

Zauważ, że to wyrażenie można przepisać jako $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ , czyli jest to różnica dwóch wyrazów kwadratowych, których podstawy to 9 i 2x.

Zapiszmy więc wyrażenie jako iloczyn sumy podstaw i różnicy podstaw:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Rozkład na czynniki idealnego trójmianu kwadratowego

Rozkładając na czynniki trójmian doskonały kwadratowy, używamy również godnych uwagi iloczynów i zapisujemy wyrażenie jako kwadrat sumy lub kwadratu różnicy między dwoma wyrazami:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Przykład:

rozłóż wyrażenie na czynniki $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

Zauważ, że wyrażenie jest doskonałym trójmianem kwadratowym, as $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ To jest $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .