W badaniu okręgów ważnym pojęciem, które należy zbadać, są linie styczne do okręgu. Aby przeprowadzić to badanie, konieczne jest zrozumienie względnego położenia punktu w stosunku do okręgu. Jeśli nie studiowałeś czegoś związanego z tym tematem, zapoznaj się z artykułem Pozycje względne między punktem a okręgiem.
Obserwując położenie punktu w stosunku do okręgu, możemy wywnioskować kilka faktów związanych z liniami stycznymi. Wiadomo, że istnieją trzy względne pozycje od punktu do okręgu. Dla każdej pozycji tego możemy wywnioskować coś o linii stycznej, która przechodzi przez ten punkt.
• Punkt wewnątrz okręgu: nie można narysować linii stycznej przez ten punkt.
• Punkt należący do okręgu: przez ten punkt możemy mieć tylko linię styczną, ponieważ jest to punkt styczności.
• Punkt poza okręgiem: z tego punktu możemy narysować dwie linie styczne do okręgu.
Dlatego, aby wyznaczyć równanie prostej stycznej do okręgu przechodzącego przez dany punkt, musimy koniecznie określić względne położenie tego punktu. Ta pozycja zależy od odległości od punktu do środka okręgu.
Musimy pamiętać o kilku ważnych faktach dotyczących geometrii analitycznej:
• Najkrótsza odległość od punktu do prostej to odcinek prostopadły do tej linii;
• Linia styczna będzie zawsze prostopadła do półprostej w punkcie stycznej.
Odnosząc się do dwóch poprzednich faktów, można stwierdzić, że odległość od stycznej do środka musi być równa promieniowi.
Dlatego, aby wyznaczyć równanie prostej stycznej, musimy przeanalizować położenie punktu, który narysujemy do linii i w ten sposób obliczyć odległość linii zawierającej ten punkt w stosunku do środka obwód.
Aby lepiej zrozumieć wszystkie te pojęcia, będziemy pracować z przykładami, które wymagają tych refleksji.
1) Określ równanie(-a) prostej(-ych) stycznej(-ych) do danego okręgu, narysowanej przez punkt P.
a) równ. obwód: x2+ y2 - 6x - 8 lat = 0 P (0,0)
Dzięki temu możemy wydobyć niezbędne informacje dla naszego problemu:
C(3,4), r=5.
Musimy teraz znaleźć względną pozycję punktu P(0,0):
Dlatego punkt P jest punktem styczności.
Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez punkt P.
Aby faktycznie wyznaczyć równanie prostej, musimy jeszcze dowiedzieć się, jakie jest nachylenie tej prostej. Jednym z faktów, które widzieliśmy na początku tego artykułu, była prostopadłość linii stycznej do promienia okręgu. Punkt P jest punktem styczności, więc nachylenie linii przechodzącej przez punkt P i środek musi być prostopadłe do linii stycznej. W tym celu mamy związek między prostopadłymi zboczami.
Innymi słowy, iloczyn nachyleń linii prostopadłych jest równy -1.
Aby określić nachylenie segmentu PC, musimy użyć następującego wyrażenia:
W ten sposób otrzymujemy równanie prostej stycznej:
Innym sposobem określenia wartości m byłoby obliczenie odległości od środka do linii. Ta odległość jest równa promieniowi. Zobaczmy:
Gdy punkt znajduje się poza okręgiem, powinniśmy znaleźć punkt styczności na podstawie odległości od środka okręgu do linia styczna, a więc wyznaczymy wartość współczynnika kątowego linii stycznej, która z kolei określi równanie prostej tangens.
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm