Progresje: czym są, rodzaje, wzory, przykłady

Wiemy jak progresje szczególne przypadki sekwencje liczb. Istnieją dwa przypadki progresji:

• postęp arytmetyczny

• postęp geometryczny

Aby być postępem, musimy przeanalizować cechy sekwencji, jeśli istnieje coś, co nazywamy powodem. kiedy postęp jest arytmetyka, powód jest niczym innym jak stałą, którą dodajemy do wyrazu, aby znaleźć jego następcę w ciągu; teraz, pracując z progresją geometrycznyrozum pełni podobną funkcję, tylko w tym przypadku rozum jest wyrazem stałym, przez który mnożymy wyraz w ciągu, aby znaleźć jego następcę.

Spowodowany przewidywalne zachowanie progresji, istnieją specyficzne wzory na znalezienie dowolnego terminu w tych ciągach, możliwe jest również opracowanie a wzór dla każdego z nich (czyli jeden na ciąg arytmetyczny i jeden na ciąg geometryczny) w celu obliczenia sumy ZNie pierwsze terminy tej progresji.

Przeczytaj też: Funkcje – czym są i do czego służą?

Ilość ziaren na zbiory zachowuje się jak postęp geometryczny

sekwencja liczb

Aby zrozumieć, czym są progresje, najpierw musimy zrozumieć, czym one są

sekwencje liczb. Jak sama nazwa wskazuje, znamy sekwencję liczb a zbiór liczb, które respektują porządek, są dobrze zdefiniowane lub nie. w przeciwieństwie do zestawy numeryczne, gdzie kolejność nie ma znaczenia, w sekwencji liczbowej kolejność jest niezbędna, na przykład:

Sekwencja (1, 2, 3, 4, 5) jest inna niż (5, 4, 3, 2, 1), która jest inna niż sekwencja (1, 5, 4, 3, 2). Nawet jeśli elementy są takie same, ponieważ kolejność jest inna, więc mamy różne sekwencje.

Przykłady:

Możemy napisać sekwencje, których formacje są łatwe do zauważenia:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → ciąg liczb parzystych mniejszy lub równy 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regresywny ciąg liczb nieparzystych od 17 do 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → znany jako ciąg Fibonacciego.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → choć nie da się opisać tego ciągu jak innych, łatwo przewidzieć, jakie będą jego kolejne wyrazy.

W innych sprawach, sekwencje mogą mieć w swoich wartościach całkowitą losowość, w każdym razie, aby być sekwencją, ważne jest, aby mieć zestaw uporządkowanych wartości.

do 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2...)

O ile nie można przewidzieć, kim są następne terminy w literze b, nadal pracujemy nad sequelem.

Ogólnie, ciągi są zawsze reprezentowane w nawiasach ( ), w następujący sposób:

(The₁, a₂,The₃, a₄,The₅, a₆, a₇, a₈ …) → nieskończona sekwencja

(The₁, a₂,The₃, a₄,The₅, a₆, a₇, a₈ … a_Nie) → ciąg skończony

W obu mamy następującą reprezentację:

₁ → pierwszy semestr

₂ → druga kadencja

₃ → trzeci semestr

.

.

.

_Nie → n-ty termin

Obserwacja: Bardzo ważne jest, aby podczas przedstawiania sekwencji dane były ujęte w nawiasy. Notacja sekwencyjna jest często mylona z notacją zbiorową. Zbiór jest reprezentowany w nawiasach klamrowych, aw zbiorze kolejność nie jest istotna, co w tym przypadku robi różnicę.

(1, 2, 3, 4, 5) → sekwencja

{1, 2, 3, 4, 5} → zbiór

Istnieją szczególne przypadki sekwencji, które są znane jako progresje.

Zobacz też: Jaka jest podstawowa zasada liczenia?

Czym są progresje?

Sekwencja jest zdefiniowana jako progresja, gdy ma regularność z jednego terminu na drugi, znany jako powód. Istnieją dwa przypadki progresji, progresji arytmetycznej i progresji geometrycznej. Aby wiedzieć, jak odróżnić każdą z nich, musimy zrozumieć, jaki jest powód progresji i jak ten powód współdziała z warunkami sekwencji.

Kiedy z jednego terminu do drugiego w ciągu mam a stała suma, sekwencja ta jest określana jako progresja, a w tym przypadku jest to postęp arytmetyczny. Ta wartość, którą stale sumujemy, nazywana jest stosunkiem. Inny przypadek, to znaczy, gdy ciąg jest a postęp geometryczny, od jednego terminu do drugiego jest mnożenie przez stałą wartość. Analogicznie wartość ta jest stosunkiem postępu geometrycznego.

Przykłady:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → zauważ, że zawsze dodajemy 3 z jednego wyrazu do drugiego, więc mamy ciąg arytmetyczny stosunku równy 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → w tym przypadku zawsze mnożymy przez 10 z jednego wyrazu do drugiego, mając do czynienia z postępem geometrycznym o stosunku 10.

c) (0, 2, 8, 26 …) → w tym drugim przypadku jest tylko jedna sekwencja. Aby znaleźć następny termin, mnożymy go przez 3 i dodajemy 2. W tym przypadku, mimo że istnieje prawidłowość w znajdowaniu kolejnych wyrazów, jest to tylko ciąg, a nie ciąg arytmetyczny czy geometryczny.

postęp arytmetyczny

Kiedy pracujemy z ciągami liczb, te sekwencje, w których możemy przewidzieć ich kolejne wyrazy, są dość powtarzalne. Aby ta sekwencja została sklasyfikowana jako a postęp arytmetyczny, musi być powód za. Od pierwszego semestru następny semestr to skonstruowane przez sumę poprzedniego członu z podaniem przyczyny r.

Przykłady:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Jest to ciąg, który można zaliczyć do postępu arytmetycznego, ponieważ powód r = 3, a pierwszy termin to 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Ta sekwencja jest ciągiem arytmetycznym nie bez powodu. r = -5, a jego pierwszy termin to 7.

• Warunki PA

W wielu przypadkach naszym interesem jest znalezienie określonego terminu w progresji, bez konieczności pisania całej sekwencji. Znając wartość pierwszego wyrazu i stosunek, można znaleźć wartość dowolnego wyrazu w ciągu arytmetycznym. Aby znaleźć terminy progresji arimetycznej, używamy wzoru:

_Nie =₁+ (n-1)r

Przykład:

Znajdź 25. termin PA, którego stosunek wynosi 3, a pierwszy termin to 12.

Dane r = 3,₁ = 12. Chcemy znaleźć 25. człon, czyli n = 25.

_Nie =₁+ (n-1)r

₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

₂₅ = 12 + 24 · 3

₂₅ = 12 + 72

₂₅ = 84

• Ogólna kadencja P.A.

Ogólna formuła terminu to a sposób na uproszczenie formuły terminu AP aby szybciej znaleźć dowolny termin progresji. Znając pierwszy termin i przyczynę, wystarczy podstawić we wzorze termin P.A., aby znaleźć ogólny termin postępu arytmetycznego, który zależy tylko od wartości Nie.

Przykład:

Znajdź ogólny termin PA, który ma r = 3 i₁ = 2.

_Nie = 2 + (n-1) r

_Nie = 2 + (n-1) 3

_Nie = 2 + 3n – 3

_Nie = 2n - 1

Jest to ogólny termin PA, który służy do znalezienia dowolnego terminu w tej progresji.

• Suma warunków PA

TEN suma warunków PA byłoby dość pracochłonne, gdyby trzeba było znaleźć każdy z jego terminów i zsumować je. Istnieje wzór na obliczenie sumy wszystkich Nie pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego:

Przykład:

Znajdź sumę wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 100.

Wiemy, że liczby nieparzyste są ciągiem arytmetycznym stosunku 2: (1, 3, 5, 7…99). W tym progresji jest 50 wyrazów, ponieważ od 1 do 100 połowa liczb jest parzysta, a druga nieparzysta.

Dlatego musimy:

n = 50

₁ = 1

_Nie = 99

Również dostęp: Funkcja I stopnia - praktyczne wykorzystanie progresji arytmetycznej

Postęp geometryczny

Ciąg można również zaklasyfikować jako progresja geometryczny (PG). Aby ciąg był ciągiem geometrycznym, musi mieć powód, ale w tym przypadku, aby znaleźć kolejny wyraz z pierwszego wyrazu, wykonujemy pomnożenie stosunku przez poprzedni termin.

Przykłady:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Postęp geometryczny stosunku 2, a jego pierwszym członem jest 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Postęp geometryczny stosunku 10, a jego pierwszym członem jest 20.

• Termin PG

W postępie geometrycznym reprezentujemy powód litery co. Pojęcie postępu geometrycznego można znaleźć za pomocą wzoru:

_Nie =₁ · co^{n - 1}

Przykład:

Znajdź 10. semestr PG, wiedząc, że co = 2 i₁ = 5.

_Nie =₁ · co^{n - 1}

₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

₁₀ = 5 · 2⁹

₁₀ = 5 · 512

₁₀ = 2560

• Ogólny termin PG

Znając pierwszy wyraz i przyczynę, można wygenerować ogólny wzór wyrazu z postępu geometrycznego, który zależy wyłącznie od wartości Nie. Aby to zrobić, wystarczy zastąpić pierwszy wyraz i stosunek, a znajdziemy równanie, które zależy tylko od wartości Nie.

Korzystając z poprzedniego przykładu, gdzie stosunek wynosi 2, a pierwszy termin to 5, ogólny termin dla tego lekarza ogólnego to:

_Nie =₁ · co^{n - 1}

_Nie = 5 · 2^{n - 1}

• Suma warunków PG

Dodanie wszystkich warunków progresji wymagałoby dużo pracy. W wielu przypadkach napisanie całej sekwencji, aby osiągnąć tę sumę, jest czasochłonne. Aby ułatwić te obliczenia, postęp geometryczny ma wzór, który służy do obliczenia suma Nie pierwsze elementy skończonego PG:

Przykład:

Znajdź sumę pierwszych 10 warunków GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Zauważ, że stosunek tego PG jest równy 2.

₁ = 1

co = 2

Nie = 10

Przeczytaj też: Funkcja wykładnicza - praktyczne wykorzystanie postępu geometrycznego

Ćwiczenia rozwiązane

Pytanie 1 - Naukowcy od kilku dni obserwują szczególną kulturę bakterii. Jeden z nich analizuje wzrost tej populacji i zauważył, że pierwszego dnia było 100 bakterii; w drugim 300 bakterii; w trzecim 900 bakterii i tak dalej. Analizując ten ciąg możemy powiedzieć, że jest to:

A) ciąg arytmetyczny rozumu 200.

B) postęp geometryczny stosunku 200.

C) arimetyczny postęp przyczyny 3.

D) postęp geometryczny stosunku 3.

E) sekwencja, ale nie progresja.

Rozkład

Alternatywa D.

Analizując ciąg, mamy terminy:

Zauważ, że 900/300 = 3, a także 300/100 = 3. Dlatego pracujemy z PG o współczynniku 3, ponieważ mnożymy przez trzy od pierwszego terminu.

Pytanie 2 - (Enem – PPL) Dla początkującego w bieganiu przewidziano następujący dzienny plan treningowy: biegnij 300 metrów pierwszego dnia i zwiększaj 200 metrów dziennie od drugiego. Aby policzyć swoje wyniki, użyje chipa przymocowanego do tenisówki, aby zmierzyć dystans pokonywany podczas treningu. Weź pod uwagę, że chip ten przechowuje w swojej pamięci maksymalnie 9,5 km biegu/chodu i należy go umieścić na początku treningu i wyrzucić po wyczerpaniu miejsca na rezerwę danych. Jeśli ten sportowiec użyje chipa od pierwszego dnia treningu, przez ile kolejnych dni ten chip będzie w stanie przechowywać przebieg dziennego planu treningowego?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Rozkład

Alternatywa B.

Analizując sytuację wiemy, że mamy PA z racją 200 i początkowym zakończeniem równym 300.

Ponadto wiemy, że suma S_Nie = 9,5 km = 9500 metrów.

Mając te dane, znajdźmy termin a_Nie, czyli liczba kilometrów zarejestrowanych w ostatnim dniu przechowywania.

Warto też pamiętać, że każdy termin a_Nie można zapisać jako:

_Nie =₁ + (n-1)r

Mając równanie 200n² + 400n – 19000 = 0, możemy podzielić wszystkie wyrazy przez 200, upraszczając równanie i znajdując: n² + 2n – 95 = 0.

W przypadku delty i Bhaskary musimy:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Wiemy, że 8,75 odpowiada 8 dniom i kilku godzinom. W tym przypadku liczba dni, w których można wykonać pomiar, wynosi 8.

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm