Promieniowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Operacje na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej ułatwiają obliczenia na elementach tego zbioru. Mnożenie i dzielenie kompleksów w postaci trygonometrycznej odbywa się niemal natychmiast, podczas gdy w postaci algebraicznej proces ten wymaga dalszych obliczeń. Wzmacnianie i promieniowanie kompleksów w postaci trygonometrycznej ułatwia także stosowanie formuł Moivre'a. Zobaczmy, jak odbywa się zakorzenienie tych liczb:
Rozważ dowolną liczbę zespoloną z = a + bi. Postać trygonometryczna z to:

Pierwiastki z indeksu n są podane przez drugą formułę Moivre'a:

Przykład 1. Znajdź pierwiastki kwadratowe z 2i.
Rozwiązanie: Najpierw musimy zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej.
Cała liczba zespolona ma postać z = a + bi. Musimy więc:

Wiemy również, że:

Z wartości sinus i cosinus możemy wywnioskować, że:

Zatem postać trygonometryczna z = 2i to:

Teraz obliczmy pierwiastki kwadratowe z ze wzoru Moivre'a.

Ponieważ chcemy pierwiastki kwadratowe z z, otrzymamy dwa różne pierwiastki z₀ i z

₁.
Dla k = 0 będziemy mieli

Dla k = 1 będziemy mieli:

Lub

Przykład 2. Pobierz pierwiastki sześcienne z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Rozwiązanie: Ponieważ liczba zespolona jest już w postaci trygonometrycznej, po prostu użyj wzoru Moivre'a. Ze stwierdzenia mamy, że ø = π i |z| = 1. A zatem,

Będziemy mieli trzy różne korzenie, z₀, z₁ i z₂.
Dla k = 0

Dla k = 1

Lub z₁ = – 1, ponieważ cos π = – 1 i sin π = 0.
Dla k = 2

Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna

Liczby zespolone - Matematyka - Brazylia Szkoła

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm