Dla obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych rzędu mniejszego lub równego 3 (n≤3), mamy kilka praktycznych zasad wykonywania tych obliczeń. Jednak gdy rząd jest większy niż 3 (n>3), wiele z tych reguł nie ma zastosowania.
Zobaczymy więc twierdzenie Laplace'a, które posługując się pojęciem kofaktora, prowadzi obliczenia wyznaczników do reguł mających zastosowanie do dowolnych macierzy kwadratowych.
Twierdzenie Laplace'a polega na wybraniu jednego z wierszy (wiersza lub kolumny) macierzy i dodaniu iloczynów elementów tego wiersza przez ich odpowiednie kofaktory.
Ilustracja algebraiczna:
Spójrzmy na przykład:
Oblicz wyznacznik macierzy C, korzystając z twierdzenia Laplace'a:
Zgodnie z twierdzeniem Laplace'a, aby obliczyć wyznacznik, musimy wybrać wiersz (wiersz lub kolumnę). Użyjmy pierwszej kolumny:
Musimy znaleźć wartości kofaktorów:
Tak więc, zgodnie z twierdzeniem Laplace'a, wyznacznik macierzy C jest określony następującym wyrażeniem:
Zauważ, że nie trzeba było obliczać kofaktora elementu macierzowego, który był równy zero, w końcu po pomnożeniu kofaktora wynik i tak będzie równy zero. Dlatego, gdy natkniemy się na macierze, które mają wiele zer w jednym z wierszy, zastosowanie twierdzenia Laplace'a staje się interesujące, gdyż nie będzie konieczne obliczanie kilku kofaktory.
Spójrzmy na przykład tego faktu:
Oblicz wyznacznik macierzy B korzystając z twierdzenia Laplace'a:
Zauważ, że druga kolumna to wiersz, który ma największą liczbę zer, więc użyjemy tego wiersza do obliczenia wyznacznika macierzy za pomocą twierdzenia Laplace'a.
Dlatego, aby określić wyznacznik macierzy B, wystarczy znaleźć kofaktor A22.
Dlatego możemy uzupełnić obliczenia wyznacznika:
det b = (- 1). (- 65) = 65
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm