Oblicz Factorial liczby ma sens tylko wtedy, gdy pracujemy z liczbami naturalnymi. Ta operacja jest dość powszechna w analiza kombinatoryczna, ułatwiając obliczanie układów, permutacji, kombinacji i innych problemów związanych z liczeniem. Silnia to reprezentowany przez symbol „!”. Definiujemy to jako n! (n silnia) do mnożenie n przez wszystkich jego poprzedników dopóki nie osiągniesz 1. Nie! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Przeczytaj też: Podstawowa zasada liczenia - główna koncepcja analizy kombinatorycznej
Co to jest silnia?
Silnia jest bardzo ważną operacją dla badania i rozwoju analizy kombinatorycznej. W matematyce liczba, po której następuje symbol wykrzyknika (!) jest znany jako silnia, na przykład x! (x silnia).
Wiemy jako silnia Liczba naturalna pomnożenie tej liczby przez jej poprzedników z wyjątkiem zeratj.:
Nie! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
Warto zauważyć, że aby ta operacja miała sens, n jest liczbą naturalną, to znaczy nie obliczamy silni liczby ujemnej, a nawet liczby dziesiętnej lub ułamków zwykłych.
obliczenia czynnikowe
Aby znaleźć silnię liczby, wystarczy obliczyć iloczyn. Należy również zauważyć, że silnia jest operacją, która, gdy zwiększyć wartość n, wynik również znacznie wzrośnie.
Przykłady:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Z definicji mamy:
0! = 1
1! = 1
Operacje czynnikowe
Aby rozwiązać operacje czynnikowe, należy uważać, aby nie popełnić żadnych błędów. Gdy zamierzamy dodać, odjąć lub pomnożyć dwie silnie, należy każdą z nich obliczyć osobno. Tylko podział ma określone sposoby przeprowadzania uproszczeń. Nie popełnij błędu wykonując operację i zachowując silnię, albo do dodawania i odejmowania, albo do mnożenia.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Rozwiązując którąkolwiek z tych operacji, musimy obliczyć każdą z silni.
Przykłady:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Zobacz też: Jak rozwiązać równanie z silnią?
Uproszczenie czynnikowe
Podziały są dość powtarzalne. W formułach połączenie, aranżacji i permutacji z powtórzeniami, zawsze będziemy uciekać się do uproszczeń, aby rozwiązywać problemy związane z silnią. W tym celu wykonajmy kilka kroków.
Przykład:
I krok: zidentyfikuj największą z silni — w tym przypadku jest to 8! Teraz, patrząc na mianownik, który wynosi 5!, zapiszmy mnożenie 8 przez jego poprzedników, aż dojdziemy do 5!.
Silnię liczby n, czyli n!, można przepisać jako mnożenie liczby n przez k!. A zatem,
Nie! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, więc przepiszmy 8! jak mnożenie od 8 do 5!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Więc przepiszmy powód jako:
Drugi krok: po przepisaniu powód, można uprościć licznik z mianownikiem, ponieważ 5! znajduje się zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Po uproszczeniu wystarczy wykonać mnożenie.
Przykład 2:
Analiza kombinatoryczna i czynnikowa
Podczas wykonywania dalsze badania w analizie kombinatorycznej, zawsze pojawi się silnia liczby. Główne grupy w analizie kombinatorycznej, czyli permutacje, kombinacje i układy, wykorzystują w swoich formułach silnię liczby.
Permutacja
TEN permutacja i zmiana kolejności wszystkich elementów zestawu. Aby obliczyć permutację, korzystamy z silni, ponieważ permutację n elementów oblicza się ze wzoru:
PNie = n!
Przykład:
Ile anagramy czy możemy budować pod nazwą HEITOR?
To typowy problem permutacji. Ponieważ w nazwie jest 6 liter, aby obliczyć liczbę możliwych anagramów, wystarczy obliczyć P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Również dostęp: Permutacja z powtarzającymi się elementami: jak to rozwiązać?
Ustalenia
Oblicz ustalenia wymaga również opanowania silni liczby. Aranżacja, podobnie jak permutacja, jest tworzeniem porządku. Różnica polega na w aranżacji domawiamy część zestawu, czyli chcemy wiedzieć, ile możliwych przegrupowań możemy utworzyć, wybierając ilość k wynoszącą jeden zestaw z n elementami.
Przykład:
W firmie jest 6 kandydatów do zarządzania instytucją, a dwóch zostanie wybranych na stanowiska dyrektora i wicedyrektora. Wiedząc, że zostaną wybrani w głosowaniu, ile jest możliwych wyników?
W tym przypadku obliczymy układ 6 wzięty z 2 na 2, ponieważ jest 6 kandydatów na dwa wakaty.
Połączenie
W kombinacji, podobnie jak w innych, konieczne jest opanowanie silni liczby. Definiujemy jako połączenie ty podzbiory zbioru. Różnica polega na tym, że w połączeniu nie ma zmiany kolejności, ponieważ kolejność nie jest ważna. Więc obliczamy, ile podzbiorów z k elementów możemy utworzyć w zbiorze n elementów.
Przykład:
Do reprezentowania klasy zostanie wybrana komisja składająca się z 3 uczniów. Wiedząc, że jest 5 kandydatów, ile komisji można utworzyć?
Przeczytaj też: Aranżacja czy kombinacja?
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - O silni liczby osądź następujące stwierdzenia.
JA). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Tylko ja jestem prawdziwy.
B) Tylko II jest prawdziwe.
C) Tylko III jest prawdziwe.
D) Tylko I i II są prawdziwe.
E) Tylko II i II są prawdziwe.
Rozkład
Alternatywa A.
I) Prawda.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Fałsz.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Fałsz.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Pytanie 2 - (UFF) Czy iloczyn 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 jest równoważny?
A) 20:2
B) 2·10!
C) 20:210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Rozkład
Alternatywa D.
Patrząc na iloczyn wszystkich liczb parzystych od 2 do 20 wiemy, że:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Więc możemy przepisać jako 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki