ty Liczby zespolone wynikają z potrzeby rozwiązania równania które mają liczba ujemna pierwiastek, którego do tej pory nie można było rozwiązać pracując z liczbami rzeczywistymi. Liczby zespolone można przedstawić na trzy sposoby: a forma algebraiczna (z = a + bi), złożony z części rzeczywistej i część urojona b; Forma geometryczna, reprezentowany na płaszczyźnie złożonej, znanej również jako płaszczyzna Arganda-Gaussa; i Twoje forma trygonometryczna, znany również jako forma polarna. Na podstawie ich reprezentacji, ponieważ pracujemy ze zbiorem liczbowym, liczby zespolone mają dobrze zdefiniowane operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i wzmacnianie.
Poprzez reprezentację geometryczną na płaszczyźnie zespolonej definiujemy również moduł (reprezentowany przez |z|) liczby zespolonej — czyli odległość od punktu reprezentującego liczbę zespoloną do początku — i jaki jest argument liczba zespolona — czyli kąt utworzony między osią poziomą a ścieżką, która łączy początek z punktem reprezentującym liczbę złożony.
potrzeba liczb zespolonych
W matematyce ekspansja zbioru liczbowego do nowego zbioru w historii była czymś dość powszechnym. Okazuje się, że w jej trakcie rozwinęła się matematyka, a następnie sprostać potrzebom czasuzauważono, że istnieją liczby, które nie należą do zbioru liczbowego, do którego się odnosił. Tak było z pojawieniem się zbiory liczbowe liczb całkowitych, wymiernych, niewymiernych i rzeczywistych, i nie inaczej było, gdy istniała potrzeba rozszerzenia zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb zespolonych.
Kiedy próbujemy rozwiązać równania kwadratowe, dość często znajdujemy pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, który jest niemożliwy do rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, stąd potrzeba liczb zespolonych. Na początku badania tych liczb wpłynęli ważni matematycy, tacy jak Giralmo Cardono, ale ich zestaw został sformalizowany przez Gaussa i Arganda.
Przeczytaj też: Reprezentacja geometryczna sumy liczb zespolonych
postać algebraiczna liczby zespolonej
Próbując rozwiązać równanie kwadratowe, takie jak x² = –25, często mówiono, że jest nierozwiązywalne. Jednak próbując dokonać algebraizacji, reprezentacja algebraiczna, która umożliwia wykonywanie operacji na tych liczbach, mimo że nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
Aby ułatwić rozwiązywanie sytuacji, w których pracujesz z pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej, wyimaginowana jednostka.
Tak więc analizując przedstawione równanie x² = -25, mamy to:
Zatem rozwiązania równania to -5ja e5ja.
Aby zdefiniować formę algebraiczną, list ja, znany jako jednostka urojona liczby zespolonej. Liczba zespolona jest reprezentowana przez:
z = + bja
Na co? i b są liczbami rzeczywistymi.
W: część rzeczywista, oznaczona jako a = Re (z);
b: część urojona, wskazana przez Im (z);
ja: jednostka urojona.
Przykłady
) 2 + 3ja
B) -1 + 4ja
do) 5 – 0,2ja
re) -1 – 3ja
kiedy część rzeczywista jest zerowa, liczba jest znana jako czysta wyobraźniana przykład -5ja i 5ja są czystymi wyobrażeniami, ponieważ nie mają prawdziwej części.
Gdy część urojona jest zerowa, liczba zespolona jest również liczbą rzeczywistą.
Operacje na liczbach zespolonych
Jak każdy zestaw liczb, operacje muszą być: dobrze zdefiniowane, zatem możliwe jest wykonanie czterech podstawowych operacji na liczbach zespolonych z uwzględnieniem przedstawionej postaci algebraicznej.
Dodawanie dwóch liczb zespolonych
Aby przeprowadzić dodanie dwóch liczb zespolonych z1 Ez2, dodamy rzeczywistą część z1 Ez2 oraz odpowiednio sumę części urojonej.
Być:
z1 = a + bja
z2 = c + dja
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ja
Przykład 1
Realizacja sumy z1 i z2.
z1 = 2 + 3ja
z2 = 1 + 2ja
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ja
z1 +z2= 3 + 5ja
Przykład 2
Realizacja sumy z1 i z2.
z1 = 5 – 2ja
z2 = – 3 + 2ja
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ja
z1+z2 = (5 – 3) + 0ja
z1 +z2= 3 + 0ja = 3
Zobacz też: Reprezentacja geometryczna sumy liczb zespolonych
Odejmowanie dwóch liczb zespolonych
Zanim o tym porozmawiamy odejmowanie, musimy zdefiniować, co to jest odwrotność liczby zespolonej, czyli z = a + bja. Odwrotnością z, reprezentowaną przez –z, jest liczba zespolona –z = –a –bja.
Aby wykonać odejmowanie między z1i -z2, a także dodatkowo zrobimy odejmowanie między częściami rzeczywistymi i między częściami urojonymi oddzielnie, ale trzeba zrozumieć, że -z2 jest to odwrotność liczby zespolonej, co powoduje konieczność grania w grę ze znakami.
Przykład 1
Wykonywanie odejmowania z1 i z2.
z1 = 2 + 3ja
z2 = 1 + 2ja
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ja
z1–z2= 1 + 1ja = 1+ ja
Przykład 2
Wykonywanie odejmowania z1 i z2.
z1= 5 – 2ja
z2 = – 3 + 2ja
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ja
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ja
z1 –z2= 8 + (–4)ja
z1 –z2= 8 –4ja
Wyimaginowane moce jednostkowe
Zanim zaczniemy mówić o mnożeniu, musimy zrozumieć moc wyobrażonej jednostki. W poszukiwaniu metody obliczania potęg jaNie, należy zdać sobie sprawę, że uprawnienia te zachowują się w sposób cykliczny. W tym celu policzmy trochę potencje w ja.
Okazuje się, że kolejne moce to nic innego jak jego powtórzenie, zauważ, że:
ja 4 = ja 2 · ja 2 = (–1) (–1) = 1
ja 5 = ja 2 · ja 3 = (–1) (–ja) = ja
Kontynuując obliczanie potęg, odpowiedzi zawsze będą elementami zbioru {1,i,–1,–ja}, to aby znaleźć moc jednostki jaNie, podzielimy n (wykładnik) przez 4, a resztatego podziału (r = { 0, 1, 2, 3}) będzie nowym wykładnikiem ja.
Przykład1
Obliczanie i25
Gdy podzielimy 25 przez 4, iloraz wyniesie 6, a reszta będzie równa 1. Więc musimy:
ja 25 = ja1 = ja
Przykład 2
Kalkulacja ja 403
Gdy podzielimy 403 przez 4, iloraz wyniesie 100, bo 100 · 4 = 400, a reszta będzie 3, więc musimy:
ja 403 =ja 3 = -ja
Mnożenie liczb zespolonych
Aby wykonać mnożenie dwóch liczb zespolonych, zastosujmy własność dystrybucyjna. Być:
z1= a + bja
z2= c + dja, to produkt:
z1 · z2 = (a + bja) (c + dja), stosując własność rozdzielną,
z1 · z2 = AC + adja + cbja + bdja 2, ale jak widzieliśmy, ja ² = -1
z1 · z2 = AC + adja + cbja - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (reklama + cb)ja
Korzystając z tego wzoru, można znaleźć iloczyn dowolnych dwóch liczb zespolonych, ale w a Ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba go dekorować, ponieważ do obliczeń, o których mowa, po prostu stosujemy właściwość dystrybucyjny.
Przykład
Obliczanie iloczynu (2+3 .)ja) (1 – 4ja):
(2+3ja) (1 – 4ja) = 2 – 8ja + 3ja– 12ja ², pamiętając o tym ja² = -1:
(2 + 3ja) (1 – 4ja) = 2 – 8ja + 3ja+ 12
(2 + 3ja) (1 – 4ja) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ja
(2+3ja) (1 – 4ja) = 14 – 5ja
Również dostęp: Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych
Liczba zespolona sprzężona
Zanim zaczniemy mówić o dzieleniu, musimy zrozumieć, czym jest sprzężenie liczby zespolonej. Koncepcja jest prosta, aby znaleźć sprzężenie liczby zespolonej, po prostu na wymianęMos znak części urojonej.
dzielenie dwóch liczb zespolonych
Aby przeprowadzić dzielenie dwóch liczb zespolonych, musimy pomnożyć ułamek przez sprzężenie mianownika, aby dobrze zdefiniować część rzeczywistą i urojoną.
Przykład
Obliczanie dzielenia (6 - 4ja): (4 + 2ja)
Zobacz też: Przeciwieństwo, sprzężenie i równość liczb zespolonych
Płaszczyzna zespolona lub płaszczyzna Arganda-Gaussa
Znany jako złożony plan lub Planrgan-gaus, pozwala reprezentacja w formie geometrycznej liczby zespolonej, plan ten jest adaptacją w kartezjański samolot do reprezentowania liczb zespolonych. Oś pozioma jest znana jako oś części rzeczywistej Re(z), a oś pionowa jest znana jako oś części urojonej Im (z). Tak więc liczba zespolona reprezentowana przez a + bja generuje punkty w płaszczyźnie zespolonej utworzonej przez parę uporządkowaną (a, b).
Przykład
Reprezentacja liczby 3 + 2ja w postaci geometrycznej Z(3,2).
Moduł i argument liczby zespolonej
Moduł liczby zespolonej, geometrycznie, to odległość od punktu (a, b) która reprezentuje tę liczbę w płaszczyźnie zespolonej do pochodzenia, czyli punkt (0,0).
Jak widzimy, |z| jest przeciwprostokątną trójkąt prostokątny, dlatego można go obliczyć, stosując twierdzenie Pitagorasa, więc musimy:
Przykład:
Obliczanie modułu z = 1 + 3ja
O argument liczby zespolonej, geometrycznie, jest kąt utworzone przez oś poziomą i |z|
Aby znaleźć wartość kąta, musimy:
Celem jest znalezienie kąta θ = arg z.
Przykład:
Znajdź argument liczby zespolonej: z = 2 + 2ja:
Ponieważ a i b są dodatnie, wiemy, że ten kąt jest w pierwszej ćwiartce, więc obliczmy |z|.
Znając |z| można obliczyć sinus i cosinus.
Ponieważ w tym przypadku a i b są równe 2, to obliczając sinθ, znajdziemy takie samo rozwiązanie dla cosinusa.
Znając wartości sinθ i cosθ, zapoznając się z tabelą znaczących kątów i wiedząc o tym θ należy do pierwszej ćwiartki, więc θ można je znaleźć w stopniach lub radianach, więc dochodzimy do wniosku co:
Forma trygonometryczna lub biegunowa
Reprezentacja liczby zespolonej w forma trygonometryczna jest to możliwe dopiero po zrozumieniu pojęcia modułu i argumentu. W oparciu o tę reprezentację opracowywane są ważne koncepcje badania liczb zespolonych na bardziej zaawansowanym poziomie. Aby wykonać reprezentację trygonometryczną, zapamiętamy jej postać algebraiczną z = a + bi, jednak analizując płaszczyznę zespoloną musimy:
Podstawiając w formie algebraicznej wartości a = |z| cos θ i b = |z| sen θ, musimy:
z = a + bja
gdzie z = |z| cos θ + |z| sen ja, umieszczenie |z| dowodem jest, że dochodzimy do wzoru postaci trygonometrycznej:
z= |z|(cos θ + ja · grzech θ) |
Przykład: Zapisz w formie trygonometrycznej liczbę
Aby pisać w formie trygonometrycznej, potrzebujemy argumentu i modułu z.
Pierwszy krok – Obliczenie |z|
Znając |z|, można znaleźć wartość θ, przeglądając tablicę znaczących kątów.
Teraz można zapisać liczbę z w postaci trygonometrycznej z kątem w stopniach lub z kątem mierzonym w radianach.
Przeczytaj też: Promieniowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - (UFRGS) Biorąc pod uwagę liczby zespolone z1 = (2,–1) i z2 = (3, x), wiadomo, że iloczyn między z1 i z2 to liczba rzeczywista. Więc x jest równe:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Rozkład
Alternatywa D.
Aby iloczyn był liczbą rzeczywistą, część urojona jest równa zeru.
Pisząc te liczby w formie algebraicznej, musimy:
z1 = 2 – 1ja i z2 = 3 + xja
z1 · z2 = (2 – 1ja) (3 + xja)
z1 · z2 = 6 + 2xja –3ja - xja ²
z1 · z2 = 6 + 2xja –3ja + x
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)ja
Ponieważ interesuje nas to, że część urojona jest równa zero, to rozwiążemy dla 2x – 3 = 0
Pytanie 2 - (UECE) Jeśli i jest liczbą zespoloną, której kwadrat jest równy -1, to wartość 5ja 227 + ja 6 – ja 13 to to samo co:
) ja + 1
b) 4ja –1
c) -6ja –1
d) -6ja
Rozkład
Alternatywa C.
Aby rozwiązać to wyrażenie, konieczne jest znalezienie reszty każdej z liczb z dzielenia przez 4.
227: 4 daje iloraz 56, a reszta 3.
ja 227 = ja 3 = –ja
6: 4 daje iloraz 1 i resztę 2.
ja 6 = ja 2 = –1
13: 4 daje iloraz 3 i resztę 1.
ja 13 = ja1 = ja
Więc musimy:
5ja 227 + ja 6 – ja 13
5 (–ja) + (–1) – ja
–5ja –1 – ja
–6ja – 1
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
