Wśród sposobów znajdowania wartości liczbowej x jest proces znany również jako znajdź pierwiastki równania lub znaleźć rozwiązanie równania, wyróżnij się: Formuła Bhaskary to jest proces uzupełniania kwadratów. Ten ostatni jest przedmiotem dzisiejszego tekstu.
Liczbę rozwiązań równania podaje jego stopień. Dlatego równania pierwszego stopnia mają tylko jedno rozwiązanie, równania trzeciego stopnia mają trzy rozwiązania, a, Równania kwadratowe mają dwa rozwiązania, zwane również pierwiastkami..
Równania drugiego stopnia w postaci zredukowanej można zapisać w następujący sposób:
topór2 + bx + c = 0
kwadratowa metoda uzupełniania
W takim przypadku równanie kwadratowe jest idealnym trójmianem kwadratowym
Równania drugiego stopnia wynikające z niezwykłego iloczynu są znane jako idealny trójmian kwadratowy. Aby znaleźć jego korzenie, użyjemy metody przedstawionej poniżej:
Przykład: Oblicz pierwiastki z równania x2 + 6x + 9 = 0.
Zauważ, że współczynnik b wynosi 6 = 2,3. Aby zapisać to w postaci niezwykłego produktu, wystarczy sprawdzić, czy c = 3
2, co jest prawdą, ponieważ 32 = 9 = c. W ten sposób możemy napisać:x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Zauważ, że niezwykły iloczyn to iloczyn między dwoma równymi wielomianami. W przypadku tego równania będziemy mieli:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zero. Dlatego dla (x + 3)(x + 3) = 0 konieczne jest, aby (x + 3) = 0 lub (x + 3) = 0. Stąd dwa równe wyniki dla równania x2 + 6x + 9 = 0, czyli: x = – 3 lub x = – 3.
W skrócie: rozwiązać równanie x2 + 6x + 9 = 0, napisz:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 lub x = – 3
W takim przypadku równanie kwadratowe nie jest idealnym trójmianem kwadratowym
Równanie drugiego, w którym współczynniki b i współczynnik c nie spełniają ustalonych powyżej relacji, nie jest idealnym trójmianem kwadratowym. W takim przypadku można zastosować opisaną powyżej metodę rozwiązywania z dodatkiem kilku kroków. Zwróć uwagę na następujący przykład:
Przykład: Oblicz pierwiastki z równania x2 + 6x – 7 = 0.
Zauważ, że to równanie nie jest idealnym trójmianem kwadratowym. Aby tak było, możemy użyć następujących operacji:
Zauważ, że b = 2,3, więc w pierwszym elemencie powinno pojawić się wyrażenie x2 + 6x + 9, ponieważ w tym wyrażeniu b = 2,3 i c = 32.
Dla tej „transformacji” dodaj 32 na dwóch członach tego równania "przekaż" - 7 do drugiego członu, wykonaj możliwe operacje i obserwuj wyniki:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 lub x + 3 = – 4
Ten ostatni krok należy podzielić na dwa równania, ponieważ pierwiastek z 16 może wynosić 4 lub -4 (występuje to tylko w równaniach. Na pytanie, jaki jest pierwiastek z 16, odpowiedź to tylko 4). Dlatego konieczne jest znalezienie wszystkich możliwych wyników. Kontynuacja:
x + 3 = 4 lub x + 3 = – 4
x = 4 – 3 lub x = – 4 – 3
x = 1 lub x = – 7
W takim przypadku współczynnik „a” nie jest równy 1
Poprzednie przypadki są przeznaczone dla równań drugiego stopnia, w których współczynnik „a” jest równy 1. Jeśli współczynnik „a” jest różny od 1, wystarczy podzielić całe równanie przez wartość „a” i kontynuować obliczenia w taki sam sposób, jak w poprzednim przypadku.
Przykład: Oblicz 2x pierwiastki2 + 16x – 18 = 0
Zauważ, że a = 2. Podziel całe równanie przez 2 i uprość wyniki:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x – 9 = 0
Gdy to zrobisz, powtórz procedury z poprzedniego przypadku.
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 lub x + 4 = –5
x = 5 – 4 lub x = – 5 – 4
x = 1 lub x = – 9
Godne uwagi produkty i równania drugiego stopnia: pochodzenie metody dopełniania kwadratów
Równania kwadratowe są bardzo podobne do niezwykłych produktów suma kwadratowa i kwadrat różnicy.
Na przykład suma do kwadratu jest sumą dwóch jednomianów do kwadratu. Zegarek:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Pierwszy element powyższej równości jest znany jako niezwykły produkt i drugi jak idealny trójmian kwadratowy. To ostatnie jest bardzo podobne do równania drugiego stopnia. Zegarek:
Idealny trójmian kwadratowy: x2 + 2kx + k2
Równanie drugiego stopnia: topór2 + bx + c = 0
W ten sposób, jeśli istnieje sposób na napisanie równania kwadratowego jako niezwykłego iloczynu, może jest też sposób na znalezienie swoich wyników bez konieczności używania formuły Bhaskara.
Aby to zrobić, zauważ, że w powyższym godnym uwagi iloczynie a = 1, b = 2·k i c = k2. W ten sposób można napisać równania spełniające te wymagania w postaci niezwykłego produktu.
Spójrz więc na współczynniki w równaniu. Jeśli „a” jest różne od 1, podziel całe równanie przez wartość „a”. W przeciwnym razie obserwuj współczynnik „b”. Wartość liczbowa połowy tego współczynnika musi być równa wartości liczbowej pierwiastka kwadratowego współczynnika „c”. Matematycznie, biorąc pod uwagę równanie ax2 + bx + c = 0, jeśli a = 1 i dodatkowo:
b = c
2
Możesz więc zapisać to równanie w następujący sposób:
topór2 + bx + c = (x + b) = 0
2
A jego korzenie będą - B i + b.
2 2
Stąd cała teoria stosowana do obliczania pierwiastków równań kwadratowych metodą dopełniania kwadratów.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm