Hiperbola. definicja hiperboli

Czym jest hiperbola?
Definicja: Niech F1 i F2 będą dwoma punktami na płaszczyźnie i niech 2c będzie odległością między nimi, hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, których różnica (w module) odległości do F1 i F2 jest stałą 2a (0 < 2a < 2c).
Elementy hiperboli:

F1 i F2 → są ogniskami hiperboli
→ jest środkiem hiperboli
2c → ogniskowa
2. → pomiar osi rzeczywistej lub poprzecznej
2b → pomiar osi urojonej
c/a → mimośród
Istnieje związek między a, b i c → c² =² + b²

Zredukowane równanie hiperboli
Pierwszy przypadek: Hiperbola z ogniskami na osi X.

Jasne jest, że w tym przypadku ogniska będą miały współrzędne F1 (-c, 0) i F2(c, 0).
Zatem zredukowane równanie elipsy ze środkiem w początku płaszczyzny kartezjańskiej i ogniskami na osi x będzie wyglądało następująco:

Drugi przypadek: Hiperbola z ogniskami na osi y.

W takim przypadku ogniska będą miały współrzędne F1 (0, -c) i F2 (0, c).
Zatem zredukowane równanie elipsy ze środkiem w początku płaszczyzny kartezjańskiej i ogniskami na osi y będzie:

Przykład 1. Znajdź zredukowane równanie hiperboli z osią rzeczywistą 6, ogniskami F1(-5,0) i F2(5,0).

Rozwiązanie: Musimy
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) i F2(5, 0) → c = 5
Z niezwykłej relacji uzyskujemy:
do² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Zatem zredukowane równanie będzie podane przez:

Przykład 2. Znajdź zredukowane równanie hiperboli, które ma dwa ogniska ze współrzędnymi F2 (0, 10) i urojoną osią mierzącą 12.
Rozwiązanie: Musimy
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Wykorzystując niezwykłą relację uzyskujemy:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Zatem zredukowane równanie hiperboli będzie podane przez:

Przykład 3. Wyznacz ogniskową hiperboli za pomocą równania
Rozwiązanie: Ponieważ równanie hiperboli jest typu  Musimy
² = 16 i b² =9
Z niezwykłej relacji, którą uzyskujemy
do² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Ogniskowa dana jest przez 2c. A zatem,
2c = 2*5 =10
Tak więc ogniskowa wynosi 10.

Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna

Geometria analityczna - Matematyka - Brazylia Szkoła