O pień stożka jest ciałem stałym utworzonym przez spód stożka podczas wykonywania sekcji na dowolnej wysokości równoległej do podstawy. kiedy przecinamy stożek na dowolnej wysokości jest podzielony na dwie geometryczne bryły, stożek mniejszy od poprzedniego oraz pień stożka.
Pień stożka ma określone wzory, dzięki którym możliwe jest obliczenie całkowitej powierzchni i objętości tej geometrycznej bryły.
Przeczytaj też: Czym są ciała stałe Platona?
Elementy stożka bagażnika
Pień stożka to szczególny przypadek okrągłe ciała. Ma swoją nazwę, ponieważ w kształcie stożka, gdy tworzymy odcinek równoległy do podstawy, dzieli się go na dwie części. Dolna część to pień stożka.
Biorąc pod uwagę pień stożka, są w tym ważne elementy solidny, którym nadano określone nazwy.
R → promień największej podstawy
h → wysokość stożka
r → promień najmniejszej podstawy
g → tworząca stożek pnia
Widzimy, że pień stożka składa się z dwie twarze w kształcie koła, które są znane jako podstawy. Co więcej, jeden z nich ma zawsze mniejszy promień niż drugi. Zatem r < R iw konsekwencji istnieje większa podstawa i mniejsza podstawa.
Generator stożka tułowia
Biorąc pod uwagę pień stożka, jest to możliwe obliczyć wartość generatora tej bryły za pomocą twierdzenie o Pitagoras, gdy znamy promienie największej i najmniejszej podstawy, oprócz wysokości.
g² = h² + (R – r) ²
Przykład:
Znajdź tworzącą stożka pnia o wysokości 8 cm, promieniu podstawy większym równym 10 cm i promieniu podstawy mniejszym niż 4 cm.
Aby znaleźć pień tworzącej stożka, musimy:
h = 8
R = 10
r = 4
Zastąpienie w formule:
g² = h² + (R – r) ²
g² = 8² + (10 – 4)²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 cm
Zobacz też: Jak znaleźć środek koła?
Objętość stożka bagażnika
Aby obliczyć objętość pnia stożka, używamy wzoru:
Znając wartości wysokości, promień największej podstawy i promień najmniejszej podstawy, można obliczyć objętość pnia szyszki.
Przykład:
Znajdź objętość szyszki pnia, która ma wysokość 6 cm, promień największej podstawy równy 8 cm i promień najmniejszej podstawy równy 4 cm. Użyj π = 3,1.
Planowanie pnia stożka
TEN struganie geometrycznej bryły i reprezentacja twoich twarzy w dwuwymiarowy sposób. Zobacz poniżej struganie pnia stożka.
Całkowita powierzchnia pnia stożka
Znając płaszczyznę pnia stożka, można obliczyć wartość całkowitej powierzchni tej bryły geometrycznej. Wiemy, że składa się z dwie podstawy w kształcie koła, a także po jego powierzchni bocznej. Całkowita powierzchnia pnia szyszki to suma powierzchni tych trzech regionów:
TENT = Ab + Ab + Atam
TENT → całkowita powierzchnia
TENb → większa powierzchnia podstawy
TENb → mniejsza powierzchnia podstawy
TENL → obszar boczny
Zwróć uwagę, że podstawy są okręgami, a obszar boczny zaczyna się od okręgu, więc:
TENtam = πg (R + r)
TENb = πR²
TENb = πr²
Przykład:
Oblicz całkowitą powierzchnię pnia szyszki, która ma wysokość równą 12 cm, promień podstawy większy równy 10 cm i promień podstawy mniejszy niż 5 cm. Użyj π = 3.
Najpierw znajdziemy tworzącą do obliczenia powierzchni bocznej:
g² = 12² + (10 – 5)²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13
TENtam = πg (R + r)
TENtam = 3 · 13 (10 + 5)
TENtam = 39 · 15
TENtam = 39 · 15
TENtam = 585 cm²
Teraz obliczymy powierzchnię każdej z baz:
TENb = πR²
TENb = 3 · 10²
TENb = 3 · 100
TENb = 300 cm²
TENb = πr²
TENb= 3 · 5²
TENb= 3 · 25
TENb= 75 cm²
TENT = Ab + Ab + Atam
TENT = 300+ 75 + 585 = 960 cm²
Zobacz też: Jakie są różnice między okręgiem a obwodem?
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - (Enem 2013) Kucharz, ekspert w robieniu ciast, używa formy w formacie pokazanym na rysunku:
Identyfikuje reprezentację dwóch trójwymiarowych figur geometrycznych. Te liczby to:
A) ścięty stożek i cylinder.
B) stożek i cylinder.
C) pień piramidy i cylinder.
D) dwa pnie stożka.
E) dwie butle.
Rozkład
Alternatywa D. Analizując bryły geometryczne, obie mają dwie okrągłe ściany o różnych rozmiarach, więc są to stożki ścięte.
Pytanie 2 - (Nucepe) Jak to jest i do czego służy przede wszystkim filiżanka, wszyscy wiemy: serwowanie napojów, zwłaszcza gorących. Skąd jednak wziął się pomysł stworzenia „szklanki z uchwytem”?
Herbatę o orientalnym pochodzeniu podawano początkowo w okrągłych, pozbawionych uchwytów dzbankach. Zgodnie z tradycją było to nawet ostrzeżenie dla prowadzących ceremonię picia: jeśli pojemnik spalił twoje palce, był zbyt gorący, aby pić. W idealnej temperaturze nie przeszkadzało to nawet przy bezpośrednim kontakcie z porcelaną.
Źródło: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Dostęp 01.06.2018.
Filiżanka do herbaty ma kształt prostego stożka, jak pokazano na poniższym rysunku. Jaka jest przybliżona maksymalna objętość płynu, który może zawierać?
A) 168 cm³
B) 172 cm³
C) 166 cm³
D) 176 cm³
E) 164 cm³
Rozkład
Alternatywa D.
Aby znaleźć objętość, najpierw obliczmy wartość każdego z promieni. Aby to zrobić, po prostu podziel średnicę przez dwa.
R = 8/ 2 = 4
r = 4/2 = 2
Oprócz promienia wiemy, że h = 6.
Musimy więc:
Najbliższa wartość to 176 cm³.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm