A tangens (w skrócie tg lub tan) to a funkcja trygonometryczna. Aby określić tangens kąta, możemy zastosować różne strategie: obliczyć stosunek między sinusem a cosinusem kąta, jeśli są znane; użyj tabeli stycznej lub kalkulatora; obliczyć stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej, jeśli rozpatrywany kąt jest wewnętrzny (ostry) między innymi trójkąta prostokątnego.
Przeczytaj też: Do czego służy koło trygonometryczne?
podsumowanie na stycznej
Tangens jest funkcją trygonometryczną.
Styczna kąta wewnętrznego do trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwległego boku do sąsiedniego.
Tangens dowolnego kąta to stosunek sinusa i cosinusa tego kąta.
Funkcja \(f (x)=tg\ x\) jest zdefiniowany dla kątów X wyrażona w radianach taka, że cos \(cos\ x≠0\).
Wykres funkcji stycznej przedstawia pionowe asymptoty dla wartości, gdzie \(x= \frac{π}2+kπ\), z k całe, np \(x=-\frac{π}2\).
Prawo stycznych jest wyrażeniem, które łączy w dowolnym trójkącie styczne dwóch kątów i przeciwległych boków tych kątów.
Tangens kąta
Jeśli α jest jeden kąt wewnętrzny A trójkąt prostokątny, tangens α jest stosunkiem długości przeciwnej nogi do długości sąsiedniej nogi:
Dla dowolnego kąta α tangens jest stosunkiem między sinem α a cosinusem α, gdzie \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Należy zauważyć, że jeśli α jest kątem w 1. lub 3. ćwiartce, styczna będzie miała znak dodatni; ale jeśli α jest kątem 2. lub 4. ćwiartki, styczna będzie miała znak ujemny. Zależność ta wynika bezpośrednio z reguły znakowej między znakami sinusa i cosinusa dla każdego α.
Ważny: Zauważ, że styczna nie istnieje dla wartości α gdzie \(cos\ α=0\). Dzieje się tak dla kątów 90°, 270°, 450°, 630° i tak dalej. Aby przedstawić te kąty w sposób ogólny, używamy notacji radianowej: \(\frac{ π}2+kπ\), z k cały.
Styczna kątów znaczących
Używając wyrażenia \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), możemy znaleźć tangensy niezwykłe kąty, czyli kąty 30°, 45° i 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Ciekawy: Oprócz tego możemy analizować wartości tangensów dla kątów 0° i 90°, które również są szeroko stosowane. Skoro sin 0° = 0, wnioskujemy, że tan 0° = 0. Dla kąta 90°, ponieważ cos90° = 0, styczna nie istnieje.
Jak obliczyć tangens?
Aby obliczyć tangens, używamy wzoru tg α=sin αcos α, używanego do obliczania tangensa dowolnego kąta. Spójrzmy na kilka przykładów poniżej.
Przykład 1
Znajdź tangens kąta α w poniższym trójkącie prostokątnym.
Rezolucja:
Jeśli chodzi o kąt α, bok miary 6 jest przeciwległym bokiem, a bok miary 8 jest bokiem sąsiednim. Lubię to:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Przykład 2
Wiedząc to \(sin\ 35°≈0,573\) i cos\(35°≈0,819\), znajdź przybliżoną wartość tangensa 35°.
Rezolucja:
Ponieważ tangens kąta jest stosunkiem między sinusem a cosinusem tego kąta, mamy:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
funkcja styczna
Funkcja fx=tg x jest zdefiniowana dla kątów X wyrażona w radianach, więc \(cos\ x≠0\). Oznacza to, że dziedzina funkcji stycznej jest wyrażona wzorem:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Ponadto wszystkie liczby rzeczywiste są obrazem funkcji stycznej.
→ Wykres funkcji stycznej
Zauważ, że wykres funkcji stycznej ma pionowe asymptoty dla wartości gdzie \(x= \frac{π}2+kπ\), z k całe, np \( x=-\frac{π}2\). Dla tych wartości X, styczna nie jest zdefiniowana (to znaczy styczna nie istnieje).
Zobacz też: Co to jest domena, zasięg i obraz?
prawo tangensów
Prawo tangensów to A wyrażenie, które łączy, w a trójkąt dowolne, styczne dwóch kątów i boki leżące naprzeciw tych kątów. Rozważmy na przykład kąty α i β trójkąta ABC poniżej. Zauważ, że bok CB = a jest przeciwny do kąta α, a bok AC = b jest przeciwny do kąta β.
Prawo tangensów mówi, że:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
stosunki trygonometryczne
Do stosunki trygonometryczne to funkcje trygonometryczne opracowane na prawym trójkącie. Interpretujemy te stosunki jako relacje między bokami i kątami tego typu trójkąta.
Rozwiązane ćwiczenia na stycznej
Pytanie 1
Niech θ będzie kątem drugiej ćwiartki takim, że grzech\(grzech\ θ≈0,978\), więc tgθ wynosi w przybliżeniu:
A) -4688
B) 4688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rezolucja
Alternatywa A
Jeśli \(grzech\ θ≈0,978\), a następnie, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrii:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Ponieważ θ jest kątem drugiej ćwiartki, to cosθ jest ujemne, zatem:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Wkrótce:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
pytanie 2
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o bokach AB = 3 cm i AC = 4 cm. Tangens kąta B wynosi:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
I) \(\frac{5}3\)
Rezolucja:
Alternatywa C
Zgodnie z oświadczeniem, noga przeciwna do kąta \(\kapelusz{B}\) to AC o długości 4 cm i noga przylegająca do kąta \(\kapelusz{B}\) jest AB o mierze 3 cm. Lubię to:
\(tg\kapelusz{C}=\frac{4}3\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki