Jeden przybliżony pierwiastek kwadratowy jest skończoną reprezentacją a Liczba niewymierna. W wielu przypadkach podczas pracy z pierwiastki kwadratowe, do naszych obliczeń wystarczy oszacowanie z kilkoma miejscami po przecinku.
Kalkulator jest ważnym narzędziem w tym procesie. Jego wyświetlacz, który ma ograniczoną przestrzeń, wskazuje na dobre przybliżenie niedokładnych pierwiastków kwadratowych. Ale możliwe jest również znalezienie tych szacunków bez pomocy kalkulatora, jak zobaczymy poniżej.
Przeczytaj też: Rootowanie — wszystko o operacji odwrotnego wzmacniania
Przybliżone podsumowanie pierwiastka kwadratowego
Niedokładny pierwiastek kwadratowy jest liczbą niewymierną.
Możemy znaleźć przybliżone wartości dla niedokładnych pierwiastków kwadratowych.
Dokładność przybliżenia zależy od liczby użytych miejsc po przecinku.
Przybliżenia można dokonać na różne sposoby, w tym za pomocą kalkulatora.
Znalezienie przybliżenia y do pierwiastka kwadratowego z x oznacza, że y² jest bardzo bliskie x, ale y² nie jest równe x.
Lekcja wideo na temat przybliżonego pierwiastka kwadratowego
Jak obliczyć przybliżony pierwiastek kwadratowy?
Istnieją różne sposoby obliczyć przybliżenie pierwiastka kwadratowego. Jednym z nich jest kalkulator! Na przykład, kiedy piszemy \(\sqrt{2}\) na kalkulatorze i kliknij =, wynikowa liczba jest przybliżeniem. To samo dotyczy \(\sqrt{3}\) To jest \(\sqrt{5}\), które są również niedokładnymi pierwiastkami kwadratowymi, to znaczy są liczbami niewymiernymi.
Innym sposobem jest użycie pierwiastków dokładnych blisko badanego pierwiastka niedokładnego. Pozwala to porównać reprezentacje dziesiętne i znaleźć zakres niedokładnego pierwiastka. W ten sposób możemy testować niektóre wartości, aż znajdziemy dobre przybliżenie.
Brzmi to trudne, ale nie martw się: to proces testowania. Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykłady
Znajdź przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku dla \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
sobie z tego sprawę \(\sqrt{4}\) To jest \(\sqrt{9}\) są najbliższymi dokładnymi pierwiastkami \(\sqrt{5}\). Pamiętaj, że im większy pierwiastek, tym większy pierwiastek kwadratowy. Tak więc możemy to stwierdzić
\(\sqrt{4}
\(2
Tj, \(\sqrt5\) jest liczbą między 2 a 3.
Teraz czas na testy: wybieramy kilka wartości między 2 a 3 i sprawdzamy, czy każda liczba podniesiona do kwadratu zbliża się do 5. (Zapamietaj to \(\sqrt5=a\) Jeśli \(a^2=5\)).
Dla uproszczenia zacznijmy od liczb z jednym miejscem po przecinku:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Zauważ, że nie musimy nawet kontynuować analizowania liczb z dokładnością do jednego miejsca po przecinku: szukana liczba mieści się w przedziale od 2,2 do 2,3.
\(2,2
Teraz, gdy szukamy przybliżenia z dwoma miejscami po przecinku, przejdźmy do testów:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Ponownie możemy zatrzymać analizę. Liczba, której szukasz, mieści się w przedziale od 2,23 do 2,24.
\(2.23
Ale i teraz? Którą z tych wartości z dwoma miejscami po przecinku wybieramy jako przybliżenie \(\sqrt5\)? Obie opcje są dobre, ale pamiętaj, że najlepsza jest ta, której kwadrat jest najbliższy 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
Tj, \(2,24^2 \) jest bliższy 5 niż \(2,23^2\).
Zatem najlepsze przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku dla \(\sqrt5\) é 2,24. To piszemy \(\sqrt5≈2,24\).
Znajdź przybliżenie do dwóch miejsc po przecinku dla \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Moglibyśmy zacząć w ten sam sposób, co w poprzednim przykładzie, czyli poszukać dokładnych pierwiastków, których korzeni są bliskie 20, ale zauważ, że możliwe jest zmniejszenie wartości korzenia i ułatwienie konta:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Zauważ, że przeprowadziliśmy rozkład radicanda 20 i użyliśmy właściwości rootowania.
Jak teraz \(\sqrt20=2\sqrt5\), możemy zastosować przybliżenie z dwoma miejscami po przecinku do \(\sqrt5\) z poprzedniego przykładu:
\(\sqrt{20} ≈2,2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Obserwacja: Ponieważ używamy przybliżonej liczby (\(\sqrt5≈2,24\)), wartość 4,48 może nie być najlepszym przybliżeniem z dwoma miejscami po przecinku \(\sqrt{20}\).
Przeczytaj też: Jak obliczyć pierwiastek sześcienny z liczby?
Różnice między przybliżonym pierwiastkiem kwadratowym a dokładnym pierwiastkiem kwadratowym
Dokładny pierwiastek kwadratowy to a Liczba wymierna. sobie z tego sprawę \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) To jest \(\sqrt{121}\) są przykładami dokładnych pierwiastków kwadratowych, jak \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) To jest \(\sqrt{121}=11\). Ponadto, gdy zastosujemy operację odwrotną (tj wzmocnienie z wykładnikiem 2), otrzymujemy pierwiastek. W poprzednich przykładach mamy \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) To jest \(11^2=121\).
Niedokładny pierwiastek kwadratowy jest liczbą niewymierną (to znaczy liczba z nieskończonymi, niepowtarzalnymi miejscami po przecinku). Dlatego używamy przybliżeń w jego reprezentacji dziesiętnej. sobie z tego sprawę \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) To jest \(\sqrt6\) są przykładami niedokładnych pierwiastków, ponieważ \(\sqrt2≈1,4142135\), \(\ sqrt3≈1,7320508\) To jest \(\ sqrt6≈2,44949\). Ponadto, gdy zastosujemy operację odwrotną (czyli wzmocnienie o wykładnik 2), otrzymamy wartość bliską pierwiastkowi, ale nierówną. W poprzednich przykładach mamy \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) To jest \(2,44949^2=6,00000126\).
Rozwiązane ćwiczenia na przybliżonym pierwiastku kwadratowym
Pytanie 1
Uporządkuj następujące liczby w porządku rosnącym: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Rezolucja
sobie z tego sprawę \(\sqrt{150}\) jest niedokładnym pierwiastkiem kwadratowym i \(\sqrt{144}\) jest dokładny (\(\sqrt{144}=12\)). W związku z tym musimy tylko określić pozycję \(\sqrt{150}\).
zauważ to \(13=\sqrt{169}\). Biorąc pod uwagę, że im większy pierwiastek, tym większa wartość pierwiastka kwadratowego, mamy to
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Dlatego układając liczby w porządku rosnącym, mamy
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
pytanie 2
Spośród następujących alternatyw, która jest najlepszym przybliżeniem liczby z jednym miejscem po przecinku \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
e) 8.1
Rezolucja
Alternatywa C
zauważ to \(\sqrt{49}\) To jest \(\sqrt{64}\) są najbliższymi dokładnymi pierwiastkami kwadratowymi z \(\sqrt{54}\). Jak \(\sqrt{49}=7\) To jest \(\sqrt{64}=8\), Musimy
\(7
Zobaczmy kilka możliwości przybliżenia do jednego miejsca po przecinku dla \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Należy pamiętać, że nie jest konieczne kontynuowanie testów. Ponadto wśród alternatyw 7,3 jest najlepszym przybliżeniem do jednego miejsca po przecinku \(\sqrt{54}\).
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
