macierz symetryczna Jest siedziba w którym każdy element \(a_{ij}\) jest równy elementowi \(a_{ji}\) dla wszystkich wartości i oraz j. W konsekwencji każda macierz symetryczna jest równa swojej transpozycji. Warto również wspomnieć, że każda macierz symetryczna jest kwadratowa, a główną przekątną pełni rolę osi symetrii.
Przeczytaj też:Dodawanie i odejmowanie macierzy — jak liczyć?
Streszczenie o macierzy symetrycznej
W symetrycznej macierzy \(a_{ij}=a_{ji}\) dla wszystkich i i j.
Każda macierz symetryczna jest kwadratowa.
Każda macierz symetryczna jest równa swojej transpozycji.
Elementy macierzy symetrycznej są symetryczne względem głównej przekątnej.
Będąc w macierzy symetrycznej \(a_{ij}=a_{ji}\) dla wszystkich i oraz j; w macierzy antysymetrycznej, \(a_{ij}=-a_{ji}\) dla wszystkich i i j.
Co to jest macierz symetryczna?
Symetryczna macierz jest macierz kwadratowa gdzie \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) dla każdego i i każdego j. To znaczy że \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), i tak dalej, dla wszystkich możliwych wartości i oraz j. Pamiętaj, że możliwe wartości i odpowiadają wierszom macierzy, a możliwe wartości j odpowiadają kolumnom macierzy.
Przykłady macierzy symetrycznych
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Przykłady macierzy niesymetrycznych (rozważ \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Ważny: Powiedzieć, że macierz nie jest symetryczna, oznacza to pokazać \(a_{ij}≠a_{ji}\) przynajmniej dla niektórych i oraz j (co możemy zobaczyć porównując poprzednie przykłady). Różni się to od koncepcji macierzy antysymetrycznej, którą zobaczymy później.
Jakie są własności macierzy symetrycznej?
Każda macierz symetryczna jest kwadratowa
Zauważ, że definicja macierzy symetrycznej opiera się na macierzach kwadratowych. Zatem każda macierz symetryczna ma taką samą liczbę wierszy, jak liczba kolumn.
Każda macierz symetryczna jest równa swojej transpozycji
Jeśli A jest macierzą, to jej transponowane (\(A^T\)) jest zdefiniowana jako macierz, której wiersze są kolumnami A, a kolumny są wierszami A. Tak więc, jeśli A jest macierzą symetryczną, mamy \(A=A^T\).
W macierzy symetrycznej elementy są „odbijane” względem głównej przekątnej
Jak \(a_{ij}=a_{ji}\) w macierzy symetrycznej elementy nad główną przekątną są „odbiciami” elementów poniżej przekątnej (lub odwrotnie) w stosunku do przekątnej, tak aby główna przekątna była osią symetria.
Jakie są różnice między macierzą symetryczną a macierzą antysymetryczną?
Jeśli A jest macierzą symetryczną, to \(a_{ij}=a_{ji}\) dla wszystkich i i wszystkich j, jak studiowaliśmy. W przypadku macierzy antysymetrycznej sytuacja jest inna. Jeśli B jest macierzą antysymetryczną, to \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) dla każdego i i każdego j.
Zauważ, że skutkuje to \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), to jest, główne elementy przekątnej są zerowe. Konsekwencją tego jest to, że transpozycja macierzy antysymetrycznej jest równa jej przeciwieństwa, to znaczy, jeśli B jest macierzą antysymetryczną, to \(B^T=-B\).
Przykłady macierzy antysymetrycznych
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Zobacz też: Macierz tożsamości — macierz, w której główne elementy diagonalne są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0
Rozwiązane ćwiczenia na macierzy symetrycznej
Pytanie 1
(Unicentro)
jeśli macierz \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) jest symetryczny, więc wartość xy wynosi:
6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Rezolucja:
Alternatywa A
Jeżeli dana macierz jest symetryczna, to elementy w pozycjach symetrycznych są sobie równe (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Dlatego musimy:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Wymiana pierwszego równanie w drugim stwierdzamy, że \(y=3\), Wkrótce:
\(x=2\) To jest \(xy=6\)
pytanie 2
(UFSM) Wiedząc, że macierz \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) jest równa jego transpozycji, wartość \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Rezolucja:
Alternatywa C
Skoro dana macierz jest równa swojej transpozycji, to jest to macierz symetryczna. Zatem elementy w pozycjach symetrycznych są równe (\(a_{ij}=a_{ji}\)), tj:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Z pierwszego równania x=-6 Lub x=6. Z trzeciego równania otrzymujemy poprawną odpowiedź: x= -6. Z drugiego równania y=11.
Wkrótce:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
