A kulista czapka i bryła geometryczna uzyskuje się, gdy kulę przecina płaszczyzna, dzieląc ją na dwie geometryczne bryły. Sferyczna nasadka jest uważana za okrągły korpus, ponieważ podobnie jak kula ma zaokrąglony kształt. Aby obliczyć powierzchnię i objętość kulistego kapelusza, używamy określonych wzorów.
Przeczytaj też: Pień stożka — bryła geometryczna utworzona przez spód stożka, gdy wykonywany jest przekrój równoległy do podstawy
Tematyka tego artykułu
- 1 - Podsumowanie nasadki sferycznej
- 2 - Co to jest nasadka sferyczna?
- 3 - Elementy nasadki kulistej
- 4 - Czy kulista nasadka jest wielościanem czy okrągłym korpusem?
- 5 - Jak obliczyć promień kulistej nasadki?
- 6 - Jak obliczyć powierzchnię kulistej czapki?
- 7 - Jak obliczyć objętość kulistej nasadki?
- 8 - Rozwiązane ćwiczenia na kulistej czapce
Podsumowanie nasadki sferycznej
- Sferyczna nasadka jest bryłą geometryczną uzyskaną przez podzielenie kuli przez płaszczyznę.
- Głównymi elementami kulistej nasadki są promień kuli, promień kulistej nasadki i wysokość kulistej nasadki.
- Sferyczna nasadka nie jest wielościanem, ale okrągłym korpusem.
- Jeśli płaszczyzna dzieli kulę na pół, kulista nasadka tworzy półkulę.
- Możliwe jest obliczenie promienia kulistej czapki za pomocą twierdzenia Pitagorasa, zorganizowanego w następujący sposób:
\(\lewo (R-h\prawo)^2+r^2=R^2\)
- Powierzchnię kulistej nasadki można obliczyć za pomocą wzoru:
\(A=2\pi rh\ \)
- Objętość nasadki kulistej można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Co to jest czapka sferyczna?
kulista czapka jest bryłą geometryczną uzyskaną, gdy przekrój piłka wspólny płaski. Przecinając kulę płaszczyzną, dzielimy tę kulę na dwie kuliste czapki. Kiedy podzielimy kulę na pół, kulista nasadka jest znana jako półkula.
Sferyczne elementy czapki
W kulistej nasadce głównymi elementami są promień kuli, promień kulistej nasadki i wysokość kulistej nasadki.
- R → promień kuli.
- r → promień nasadki kulistej.
- h → wysokość kulistej nasadki.
Czy kulista nasadka jest wielościanem czy okrągłym korpusem?
Widzimy, że czapka jest bryłą geometryczną. Ponieważ ma okrągłą podstawę i zaokrągloną powierzchnię, kulista nasadka jest uważana za a okrągłe ciało, który jest również znany jako bryła rewolucji. Warto wspomnieć, że wielościan ma twarze utworzone przez wielokąty, co nie ma miejsca w przypadku kulistego kapelusza, który ma podstawę utworzoną przez a koło.
Jak obliczyć promień kulistej nasadki?
Aby obliczyć długość promienia kulistej nasadki, konieczna jest znajomość długości wysokości h kulistej nasadki i długości promienia R kuli, ponieważ, jak widać na poniższym obrazku, istnieje związek pitagorejski.
Zauważ, że mamy trójkąt prostokątny, trójkąt OO’B, z przeciwprostokątną o wymiarach R i przyprostokątnymi o wymiarach R – h i r. Stosowanie twierdzenie Pitagorasa, Musimy:
\(\lewo (R-h\prawo)^2+r^2=R^2\)
Przykład:
Jaki jest promień kulistego kapelusza o wysokości 2 cm, jeśli promień kuli wynosi 5 cm?
Rezolucja:
Stosując relację Pitagorasa:
\(\lewo (R-h\prawo)^2+r^2=R^2\)
\(\lewo (5-2\prawo)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Jak obliczyć powierzchnię kulistej czapki?
Aby obliczyć powierzchnię kulistej nasadki, konieczna jest znajomość miary długości promienia R kuli i wysokości h nasadki. Wzór użyty do obliczenia pola powierzchni to:
\(A=2\pi Rh\)
- R → promień kuli.
- h → wysokość kulistej nasadki.
Przykład:
Z kuli o promieniu 6 cm i wysokości 4 cm otrzymano kulistą czapkę. Jaka jest więc powierzchnia tej kulistej nasadki?
Rezolucja:
Obliczając powierzchnię kulistej czapki, mamy:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Jak obliczyć objętość kulistej nasadki?
Objętość kulistego kapelusza można obliczyć na dwa sposoby. Pierwszy wzór zależy od promienia R kuli i wysokości h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3R-h\right)\)
Przykład:
Jaka jest objętość kulistego kapelusza otrzymanego z kuli o promieniu 8 cm, której wysokość wynosi 6 cm?
Rezolucja:
Ponieważ znamy wartość R i h, użyjemy pierwszego wzoru.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\lewo (24-6\prawo)\)
\(V=12\pi\lewo (18\prawo)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Drugi wzór na objętość kołpaka sferycznego uwzględnia promień kołpaka sferycznego r i wysokość kołpaka h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Przykład:
Jaka jest objętość kulistego kapelusza o promieniu 10 cm i wysokości 4 cm?
Rezolucja:
W tym przypadku mamy r = 10 cm i h = 4 cm. Ponieważ znamy wartość promienia kulistego kapelusza i wysokość, skorzystamy z drugiego wzoru:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\około210,7\ \pi\ cm³\)
Zobacz też: Pień piramidy — bryła geometryczna utworzona przez dno piramidy po wykonaniu przekroju poprzecznego
Rozwiązane ćwiczenia na czapce kulistej
Pytanie 1
(Enem) Do dekoracji dziecięcego stołu szef kuchni użyje kulistego melona o średnicy 10 cm, który posłuży jako podstawka do nabijania różnych słodyczy. Zdejmuje z melona kulisty kapelusz, jak pokazano na rysunku, i aby zagwarantować stabilność tego podparcia, utrudniając melonowi toczenie się po stole, szef kuchni pokroi tak, aby promień r okrągłego przekroju wynosił co najmniej minus 3 cm. Z drugiej strony szef będzie chciał mieć jak największy obszar w regionie, w którym będą umieszczane słodycze.
Aby osiągnąć wszystkie swoje cele, szef kuchni musi odciąć wierzchołek melona na wysokości h, w centymetrach, równej
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Rezolucja:
Alternatywa C
Wiemy, że średnica kuli wynosi 10 cm, więc jej promień wynosi 5 cm, więc OB = 5 cm.
Jeżeli promień przekroju wynosi dokładnie 3 cm, mamy:
AO² + AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Dlatego:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
pytanie 2
Sferyczna czapka ma pole 144π cm². Wiedząc, że ma promień 9 cm, wysokość tego kulistego kapelusza wynosi:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Rezolucja:
Alternatywa A
Wiemy to:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pih\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Wysokość wynosi 8 cm.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Czy chciałbyś odwołać się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Patrzeć:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „kulista czapka”; Szkoła brazylijska. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Dostęp 20 lipca 2023 r.
Kliknij tutaj i dowiedz się wszystkiego o cylindrze, geometrycznej bryle, która jest bardzo obecna w naszym codziennym życiu. Poznaj ich formuły i dowiedz się, jak używać każdego z nich!
Dowiedz się, czym jest stożek, jak obliczyć jego całkowitą powierzchnię i objętość, a także jego główne klasyfikacje i określić płaskość tej bryły.
Kliknij tutaj i dowiedz się, jakie są okrągłe ciała. Poznaj jego właściwości i formuły. Poznaj różnicę między okrągłym ciałem a wielościanem.
Kliknij, aby lepiej zrozumieć elementy kuli, a także dowiedzieć się, jak wykonywać obliczenia z udziałem tych elementów!
Dowiedz się, czym jest kula i jakie elementy ją tworzą. Naucz się obliczać objętość i całkowitą powierzchnię tej geometrycznej bryły i rozwiązuj ćwiczenia.
Dowiedz się, jak obliczyć objętość kuli. Przeczytaj o tej bryle geometrycznej i jej wzorach.
Wzdrygać się
Slang zaadaptowany z angielskiego jest używany do określenia kogoś, kto jest postrzegany jako tandetny, haniebny, przestarzały i niemodny.
Neuroróżnorodność
Termin ukuty przez Judy Singer, jest używany do opisania różnorodnych sposobów zachowania ludzkiego umysłu.
PL fałszywych wiadomości
Znany również jako PL2660, jest to ustawa ustanawiająca mechanizmy regulacji sieci społecznościowych w Brazylii.
