A proporcja złoty lub boska proporcja to równość związana z ideami harmonii, piękna i doskonałości. Euklides z Aleksandrii, grecki matematyk żyjący około 300 roku p.n.e. C., był jednym z pierwszych myślicieli, którzy sformalizowali tę koncepcję, która do dziś intryguje badaczy z różnych dziedzin.
Powodem tego zainteresowania jest to, że złoty podział można w przybliżeniu zaobserwować w przyrodzie, w tym w nasionach i liściach roślin oraz w organizmie człowieka. W rezultacie złoty podział jest przedmiotem badań różnych specjalistów, takich jak biolodzy, architekci, artyści i projektanci.
Przeczytaj też: Liczba pi — jedna z najważniejszych stałych w matematyce
Tematyka tego artykułu
- 1 - Podsumowanie złotego podziału
- 2 - Jak obliczyć złotą liczbę?
- 3 - Złoty podział i ciąg Fibonacciego
- 4 - Złoty podział i złoty prostokąt
-
5 - Zastosowania złotego podziału
- Złoty podział w architekturze
- Złoty podział w ludzkim ciele
- złoty podział w sztuce
- Złota proporcja w przyrodzie
- Złoty podział w projektowaniu
- 6 - Rozwiązane ćwiczenia na złoty podział
Podsumowanie złotego podziału
Złoty podział to stosunek do \(a>b>0\) takie że
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
W tych warunkach powód TheB nazywa się złotym podziałem.
Złoty podział jest związany z koncepcjami równowagi, czystości i doskonałości.
Grecka litera ϕ (czyt. fi) oznacza złotą liczbę, która jest stałą uzyskaną ze złotego podziału.
W ciągu Fibonacciego iloraz między każdym terminem a jego poprzednikiem zbliża się do złotej liczby.
Złoty prostokąt to prostokąt, którego boki są w złotej proporcji.
Co to jest złoty podział?
Rozważmy odcinek linii podzielony na dwie części: większą długość The i najmniejszy B. sobie z tego sprawę a+b jest miarą całego segmentu.
złoty podział jest równość wśród powodów\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) To jest \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), tj
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
W tym kontekście mówimy tak The To jest B są w złotej proporcji.
Ale dla jakich wartości The To jest B czy mamy złoty podział? To właśnie zobaczymy dalej.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Jak obliczyć złotą liczbę?
Powód \(\frac{a}b\)(lub podobnie powód \(\frac{a+b}a\)) skutkuje stałą zwaną złotą liczbą i reprezentowane przez grecką literę ϕ. Dlatego powszechne jest pisanie
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Aby obliczyć złotą liczbę, rozważmy złoty podział dla b = 1. W ten sposób możemy łatwo znaleźć wartość The i otrzymamy φ od równości \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Zauważ, że możemy zapisać złoty podział w następujący sposób, używając właściwości mnożenia krzyżowego:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Podstawiając b = 1, mamy
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Stosowanie formuły Bhaskary dla tego równania kwadratowego dochodzimy do wniosku, że pozytywne rozwiązanie The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Jak The jest miarą odcinka, pominiemy rozwiązanie negatywne.
Więc jak \(\frac{a}b=ϕ\), Dokładna wartość złotej liczby to:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Obliczając iloraz, otrzymujemy Przybliżona wartość złotej liczby:
\(ϕ≈1,618033989\)
Zobacz też: Jak rozwiązywać działania matematyczne na ułamkach?
Złoty podział i ciąg Fibonacciego
A Ciąg Fibonacciego to lista liczb gdzie każdy termin, począwszy od trzeciego, jest równy sumie dwóch poprzedników. Spójrzmy na pierwsze dziesięć wyrazów tego ciągu:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Gdy obliczamy iloraz między każdym terminem a jego poprzednikiem w ciągu Fibonacciego, zbliżamy się do złotej liczby ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Złoty podział i złoty prostokąt
Jeden prostokąt gdzie najdłuższy bok The i mniejszy bok B są w złotej proporcji nazywa się to złotym prostokątem. Przykładem złotego prostokąta jest prostokąt, którego boki mają długość 1 cm i \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Wiedzieć więcej: Co to są wielkości wprost proporcjonalne?
Zastosowania złotego podziału
Zauważ, że do tej pory badaliśmy złoty podział tylko w abstrakcyjnych kontekstach matematycznych. Następnie zobaczymy kilka zastosowanych przykładów, ale należy zachować ostrożność: złoty podział nie jest przedstawiony dokładnie w żadnym z tych przypadków. Istnieją analizy różnych kontekstów, w których wydaje się, że tak wygląda złota liczbaprzybliżony.
Złoty podział w architekturze
Niektóre badania twierdzą, że szacunki liczby złota obserwuje się w pewnych proporcjach wymiarów piramidy Cheopsa w Egipcie i budynku siedziby ONZ w Nowym Jorku.
Złoty podział w ludzkim ciele
Wymiary ludzkiego ciała różnią się w zależności od osoby i nie ma idealnego typu ciała. Jednak przynajmniej od czasów starożytnej Grecji toczyły się debaty na temat ciała idealnego matematycznie (i całkowicie nieosiągalnego w rzeczywistości), z pomiarami związanymi ze złotym podziałem. W tym teoretycznym kontekście np. stosunek wzrostu osoby do odległości między jej pępkiem a ziemią byłby złotą liczbą.
złoty podział w sztuce
Istnieją badania dzieł „Człowiek witruwiański” i „Mona Lisa” Włocha Leonarda da Vinci, które sugerują wykorzystanie złotych prostokątów.
Złota proporcja w przyrodzie
Istnieją badania, które wskazują na związek między złotym podziałem a sposobem rozmieszczenia liści niektórych roślin na łodydze. Ten układ liści nazywa się filotaksją.
Złoty podział w projektowaniu
Złoty podział jest również badany i stosowany w obszarze projektowania jako narzędzie do tworzenia projektów.
Rozwiązane ćwiczenia na złoty podział
Pytanie 1
(Enem) Odcinek linii jest podzielony na dwie części w złotym stosunku, gdy całość ma się do jednej z części w takim samym stosunku, jak ta część do drugiej. Ta stała proporcjonalności jest zwykle reprezentowana przez grecką literę ϕ, a jej wartość przez dodatnie rozwiązanie równania ϕ2 = ϕ+1.
Tak jak władza \(ϕ^2\), wyższe potęgi ϕ można wyrazić w postaci \(aϕ+b\), gdzie aib są dodatnimi liczbami całkowitymi, jak pokazano w tabeli.
moc \(ϕ^7\), zapisane w postaci aϕ+b (a i b są dodatnimi liczbami całkowitymi), to
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9φ+6
d) 11ϕ+7
e) 13φ+8
Rezolucja
Jak \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Musimy
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Stosowanie rozdzielności,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Jak \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
Alternatywa E.
pytanie 2
Oceń każde poniższe stwierdzenie dotyczące złotej liczby jako T (prawda) lub F (fałsz).
I. Złota liczba ϕ jest niewymierna.
II. Iloraz między każdym terminem a jego poprzednikiem w ciągu Fibonacciego zbliża się do wartości ϕ.
III. 1,618 to zaokrąglenie do trzech miejsc po przecinku złotej liczby ϕ.
Prawidłowa kolejność, od góry do dołu, to
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Rezolucja
I. PRAWDA.
II. PRAWDA.
III. PRAWDA.
Alternatywa A.
Źródła
FRANCISZKO, S.V. od l. Między fascynacją a rzeczywistością złotego podziału. Rozprawa (Professional Master's Degree in Mathematics in National Network) – Instytut Nauk Biologicznych, Literatury i Nauk Ścisłych, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Sao Paulo, 2017. Dostępne w: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SPRZEDAŻY, j. od S. Złota proporcja obecna w przyrodzie. Ukończenie kursu (dyplom z matematyki), Federalny Instytut Edukacji, Nauki i Technologii w Piauí. Piauí, 2022. Dostępne w http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/uchwyt/123456789/1551.
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
Zrozumieć, co to jest i jak obliczyć średnią prędkość i gęstość zaludnienia.
Dowiedz się, co to jest i jak używać wzoru Bhaskary do rozwiązywania równań kwadratowych!
Zrozum, czym są wielkości wprost proporcjonalne i naucz się rozwiązywać problemy związane z tego typu relacjami.
Dowiedz się tutaj, jak określić, czy dwie wielkości lub liczby są odwrotnie proporcjonalne. Sprawdź przykłady i ćwicz na ten temat!
Dowiedz się tutaj, czym jest proporcja i jak ją obliczyć. Zobacz także jego główne właściwości i zrozum, czym są wielkości proporcjonalne.
Zobacz tutaj różne sposoby przedstawiania proporcji, zobacz także definicję i niektóre zastosowania proporcji. Dowiedz się, jak zastosować te pojęcia.
Naucz się korzystać ze złożonej reguły trzech, aby znaleźć nieznane wartości i problemy z trzema lub czterema wielkościami.
Poznaj zasadę trzech. Zrozumieć, czym są wielkości bezpośrednie i odwrotnie proporcjonalne. Poznaj różnicę między prostą regułą trzech a regułą złożoną.
Ciągi numeryczne: Ciąg Fibonacciego.
