O apotem wielokąta to odcinek, którego punkty końcowe znajdują się w środku wielokąta i w środku jednego z boków. Segment ten tworzy kąt 90° z odpowiednim bokiem wielokąta.
Aby obliczyć miarę apotemu, należy wziąć pod uwagę cechy danego wielokąta. W zależności od kształtu geometrycznego możliwe jest skonstruowanie wzoru na uzyskanie tego pomiaru. Ważną obserwacją jest to, że miara wierzchołka wielokąta foremnego jest równa mierze promienia obwodu wpisanego w wielokąt.
Przeczytaj też: Co to jest dwusieczna?
Podsumowanie o apotemie
Apothem jest segmentem wielokąta, który łączy środek (punkt spotkania dwusiecznych prostopadłych) ze środkiem jednego z boków.
Kąt między apotemem a odpowiednim bokiem wielokąta ma miarę 90°.
Miara wierzchołka wielokąta foremnego jest równa mierze promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt.
Apothem OM trójkąta równobocznego o boku l jest dana formułą
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apothem OM kwadratu o boku l jest dana formułą
\(OM = \frac{l}2\)
Apothem OM sześciokąta foremnego po jednej stronie l jest dana formułą
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotem piramidy to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem jednej z krawędzi podstawy, a jego miarę można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa.
Przykłady apotemów
Aby znaleźć apotem wielokąta, musimy skonstruować odcinek linii łączący środek wielokąta ze środkiem jednego z boków. Pamiętaj, że środek wielokąta to miejsce, w którym spotykają się dwusieczne.
W tych przykładach apotem był rozważany w płaskich wielokątach. Istnieje jednak obiekt kosmiczny, który ma inny rodzaj apotemu: piramida.
W piramidzie istnieją dwa rodzaje apotemów: apotem podstawy, który jest apotem wielokąta, który tworzy podstawę piramidy, i apotem piramidy, który jest segment łączący wierzchołek ze środkiem krawędzi podstawy (czyli jest to wysokość bocznej powierzchni podstawy). piramida).
W poniższym przykładzie z kwadratową podstawą segment OM jest apotemem podstawy, a segment VM jest apotemem piramidy, przy czym M jest środkiem BC.
Jakie są wzory na apotem?
Znając cechy wielokąta, zwłaszcza wielokątów foremnych, możemy opracować wzory do obliczania miary apotemu. Zobaczmy, jakie są te wzory dla głównych regularnych wielokątów.
Formuła apothem trójkąta równobocznego
Na przypadek trójkąta równobocznego, wysokość i mediana względem danego boku są takie same. Oznacza to, że środek wielokąta pokrywa się z środek ciężkości trójkąta. Zatem punkt O dzieli wysokość AM w następujący sposób:
\(AO = \frac{2}3 rano\) To jest \(OM=\frac{1}3 rano\)
Pamiętaj, że miara wysokość trójkąta równobocznego l jest dany przez:
\(Wysokość\ trójkąt\ równoboczny=\frac{l\sqrt3}2\)
Ponieważ AM jest wysokością trójkąta równobocznego ABC, a odcinek OM jest apotemem trójkąta, możemy opracować następujące wyrażenie na miarę OM, biorąc pod uwagę, że bok trójkąta ma wymiary l:
\(OM =\frac{1}3 rano = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apothem Formuły Kwadratowej
W przypadku kwadratu miara apotemu odpowiada połowie długości boku. Tak więc, jeśli O jest środkiem kwadratu, M jest środkiem jednego z boków i l jest długością boku kwadratu, więc wzór na apotem OM to
\(OM=\frac{l}2\)
Regularna formuła apothem w kształcie sześciokąta
W regularnym sześciokącie apotem odpowiada wysokości trójkąta równobocznego z wierzchołkami na dwóch końcach jednego z boków i w środku wielokąta. W poniższym przykładzie apotem OM sześciokąta foremnego jest wysokością trójkąta równobocznego OCD, gdzie M jest środkiem odcinka CD.
Jak wspomnieliśmy wcześniej, znana jest wysokość trójkąta równobocznego. Tak więc, jeśli bok regularnego sześciokąta mierzy l, to wzór na apotem OM to
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Piramidowa Formuła Apothem
Miarę apotemu piramidy można uzyskać za pomocą Pomoc z twierdzenia Pitagorasa. W poniższym przykładzie trójkąt VOM w piramidzie kwadratowej jest prostokątem z nogami VO i OM oraz przeciwprostokątną VM. Zauważ, że VO to wysokość piramidy, OM to apotem podstawy, a VM to apotem piramidy.
Zatem, aby określić miarę apotemu piramidy, musimy zastosować twierdzenie Pitagorasa:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Ostrożny! VM to wysokość trójkąta równoramiennego, a nie równobocznego. Zatem w tym przypadku nie możemy użyć wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
Jak oblicza się apotem?
Aby obliczyć apotem wielokąta lub ostrosłupa, możemy skorzystać ze skonstruowanych wzorów lub powiązać apotem z promieniem wpisanego okręgu.
Przykład 1: Załóżmy, że w trójkąt równoboczny wpisano okrąg o promieniu 3 cm. Jaka jest miara apotemu tego trójkąta?
Ponieważ apotem wielokąta ma taką samą miarę jak promień wpisanego koła, apotem trójkąta ma 3 cm.
Przykład 2: Jaka jest miara apotemu sześciokąta foremnego o boku 4 cm?
Używając wzoru na apotem sześciokąta foremnego z \(l=4\) cm, musimy
\(Pomiar\ z\ apotem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Przeczytaj też: Wszystko o godnych uwagi punktach trójkąta
Rozwiązane ćwiczenia na apotemie
Pytanie 1
Jeśli ostrosłup o wysokości 4 cm ma apotem podstawy 3 cm, to wymiar apotemu piramidy wynosi
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Rezolucja:
W piramidzie możemy zbudować trójkąt prostokątny, w którym jedna noga jest apotemem podstawy, druga jest wysokością piramidy, a przeciwprostokątna jest apotemem piramidy. Zatem stosując twierdzenie Pitagorasa do przeciwprostokątnej miary x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternatywa A.
pytanie 2
Jeśli apotem kwadratu wynosi y cm, to bok kwadratu wynosi y cm
ten) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2r cm
e) 3 lata cm
Rezolucja
Apothem kwadratu jest równy połowie długości boku kwadratu. Zatem, jeśli apotem ma y cm, kwadrat ma 2 y cm.
Alternatywa D.
Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki
