Apotheme: co to jest, przykłady, jak obliczyć

O apotem wielokąta to odcinek, którego punkty końcowe znajdują się w środku wielokąta i w środku jednego z boków. Segment ten tworzy kąt 90° z odpowiednim bokiem wielokąta.

Aby obliczyć miarę apotemu, należy wziąć pod uwagę cechy danego wielokąta. W zależności od kształtu geometrycznego możliwe jest skonstruowanie wzoru na uzyskanie tego pomiaru. Ważną obserwacją jest to, że miara wierzchołka wielokąta foremnego jest równa mierze promienia obwodu wpisanego w wielokąt.

Przeczytaj też: Co to jest dwusieczna?

Podsumowanie o apotemie

  • Apothem jest segmentem wielokąta, który łączy środek (punkt spotkania dwusiecznych prostopadłych) ze środkiem jednego z boków.

  • Kąt między apotemem a odpowiednim bokiem wielokąta ma miarę 90°.

  • Miara wierzchołka wielokąta foremnego jest równa mierze promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt.

  • Apothem OM trójkąta równobocznego o boku l jest dana formułą

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • Apothem OM kwadratu o boku l jest dana formułą

\(OM = \frac{l}2\)

  • Apothem OM sześciokąta foremnego po jednej stronie l jest dana formułą

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

  • Apotem piramidy to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem jednej z krawędzi podstawy, a jego miarę można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Przykłady apotemów

Aby znaleźć apotem wielokąta, musimy skonstruować odcinek linii łączący środek wielokąta ze środkiem jednego z boków. Pamiętaj, że środek wielokąta to miejsce, w którym spotykają się dwusieczne.

Apothem odpowiednio trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego i sześciokąta foremnego.
Apothem odpowiednio trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego i sześciokąta foremnego.

W tych przykładach apotem był rozważany w płaskich wielokątach. Istnieje jednak obiekt kosmiczny, który ma inny rodzaj apotemu: piramida.

W piramidzie istnieją dwa rodzaje apotemów: apotem podstawy, który jest apotem wielokąta, który tworzy podstawę piramidy, i apotem piramidy, który jest segment łączący wierzchołek ze środkiem krawędzi podstawy (czyli jest to wysokość bocznej powierzchni podstawy). piramida).

W poniższym przykładzie z kwadratową podstawą segment OM jest apotemem podstawy, a segment VM jest apotemem piramidy, przy czym M jest środkiem BC.

piramida o podstawie kwadratowej
piramida o podstawie kwadratowej

Jakie są wzory na apotem?

Znając cechy wielokąta, zwłaszcza wielokątów foremnych, możemy opracować wzory do obliczania miary apotemu. Zobaczmy, jakie są te wzory dla głównych regularnych wielokątów.

  • Formuła apothem trójkąta równobocznego

Na przypadek trójkąta równobocznego, wysokość i mediana względem danego boku są takie same. Oznacza to, że środek wielokąta pokrywa się z środek ciężkości trójkąta. Zatem punkt O dzieli wysokość AM w następujący sposób:

\(AO = \frac{2}3 rano\) To jest \(OM=\frac{1}3 rano\)

Trójkąt równoboczny ABC, w kolorze fioletowym.

Pamiętaj, że miara wysokość trójkąta równobocznego l jest dany przez:

\(Wysokość\ trójkąt\ równoboczny=\frac{l\sqrt3}2\)

Ponieważ AM jest wysokością trójkąta równobocznego ABC, a odcinek OM jest apotemem trójkąta, możemy opracować następujące wyrażenie na miarę OM, biorąc pod uwagę, że bok trójkąta ma wymiary l:

\(OM =\frac{1}3 rano = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

  • Apothem Formuły Kwadratowej

W przypadku kwadratu miara apotemu odpowiada połowie długości boku. Tak więc, jeśli O jest środkiem kwadratu, M jest środkiem jednego z boków i l jest długością boku kwadratu, więc wzór na apotem OM to

\(OM=\frac{l}2\)

  • Regularna formuła apothem w kształcie sześciokąta

W regularnym sześciokącie apotem odpowiada wysokości trójkąta równobocznego z wierzchołkami na dwóch końcach jednego z boków i w środku wielokąta. W poniższym przykładzie apotem OM sześciokąta foremnego jest wysokością trójkąta równobocznego OCD, gdzie M jest środkiem odcinka CD.

Sześciokąt foremny w kolorze zielonym z odgraniczonym segmentem apotemowym.

Jak wspomnieliśmy wcześniej, znana jest wysokość trójkąta równobocznego. Tak więc, jeśli bok regularnego sześciokąta mierzy l, to wzór na apotem OM to

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

  • Piramidowa Formuła Apothem

Miarę apotemu piramidy można uzyskać za pomocą Pomoc z twierdzenia Pitagorasa. W poniższym przykładzie trójkąt VOM w piramidzie kwadratowej jest prostokątem z nogami VO i OM oraz przeciwprostokątną VM. Zauważ, że VO to wysokość piramidy, OM to apotem podstawy, a VM to apotem piramidy.

Piramida na podstawie kwadratu z wyznaczonym segmentem apotemu.
piramida o podstawie kwadratowej

Zatem, aby określić miarę apotemu piramidy, musimy zastosować twierdzenie Pitagorasa:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

Ostrożny! VM to wysokość trójkąta równoramiennego, a nie równobocznego. Zatem w tym przypadku nie możemy użyć wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.

Jak oblicza się apotem?

Aby obliczyć apotem wielokąta lub ostrosłupa, możemy skorzystać ze skonstruowanych wzorów lub powiązać apotem z promieniem wpisanego okręgu.

  • Przykład 1: Załóżmy, że w trójkąt równoboczny wpisano okrąg o promieniu 3 cm. Jaka jest miara apotemu tego trójkąta?

Ponieważ apotem wielokąta ma taką samą miarę jak promień wpisanego koła, apotem trójkąta ma 3 cm.

  • Przykład 2: Jaka jest miara apotemu sześciokąta foremnego o boku 4 cm?

Używając wzoru na apotem sześciokąta foremnego z \(l=4\) cm, musimy

\(Pomiar\ z\ apotem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

Przeczytaj też: Wszystko o godnych uwagi punktach trójkąta

Rozwiązane ćwiczenia na apotemie

Pytanie 1

Jeśli ostrosłup o wysokości 4 cm ma apotem podstawy 3 cm, to wymiar apotemu piramidy wynosi

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 9 cm

Rezolucja:

W piramidzie możemy zbudować trójkąt prostokątny, w którym jedna noga jest apotemem podstawy, druga jest wysokością piramidy, a przeciwprostokątna jest apotemem piramidy. Zatem stosując twierdzenie Pitagorasa do przeciwprostokątnej miary x,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ cm\)

Alternatywa A.

pytanie 2

Jeśli apotem kwadratu wynosi y cm, to bok kwadratu wynosi y cm

ten) \(\frac{1}3y \) cm

B) \(\frac{1}2y \) cm

c) y cm

d) 2r cm

e) 3 lata cm

Rezolucja

Apothem kwadratu jest równy połowie długości boku kwadratu. Zatem, jeśli apotem ma y cm, kwadrat ma 2 y cm.

Alternatywa D.

Maria Luiza Alves Rizzo
Nauczyciel matematyki

Czym jest fizjokracja?

Wiadomo, że Francja w XVIII wieku była krajem, w którym najprawdopodobniej kipiały idee, i to w r...

read more

Ciepło jako substancja. Teoria ciepła jako substancji

Dziś wiemy, że ciepło oznacza przenoszenie energii z jednego obiektu lub systemu do drugiego, ze...

read more

Bakterie w medycynie, środowisku i żywności

Prawdopodobnie słyszałeś o stosowaniu botoksu, prawda?Botox® to nazwa handlowa nadana toksynie bo...

read more
instagram viewer