Transponowana macierz: co to jest, właściwości, przykłady

TEN transponowana macierz macierzy M to macierz M^t. chodzi o Kwatera główna że dostaniemy kiedy przepisujemy macierz M zmieniając położenie wierszy i kolumn, przekształcając pierwszy wiersz M w pierwszą kolumnę M^t, drugi rząd M w drugiej kolumnie M^t, i tak dalej.

Jeśli macierz M ma m linie i Nie kolumny, jej transponowana macierz, czyli M^t, będzie miał Nie linie i m kolumny. Transponowana macierz ma specyficzne właściwości.

Przeczytaj też: Co to jest macierz trójkątna?

Jak uzyskuje się transponowaną macierz?

Biorąc pod uwagę macierz A_mxn, znamy jako macierz transponowaną z A do macierzy A^t_{n x m}. Aby znaleźć transponowaną macierz, po prostu zmień pozycję wierszy i kolumn macierzy A. Jakikolwiek jest pierwszy wiersz macierzy A, będzie pierwszą kolumną transponowanej macierzy A^t, drugi wiersz macierzy A będzie drugą kolumną macierzy A^t, i tak dalej.

Algebraicznie, niech M = (m_ij)_mxn, transponowana macierz M to M^t = (m_Ji) _{n x m}.

Przykład:

Znajdź macierz transponowaną z macierzy:

Macierz M jest macierzą 3x5, więc jej transpozycja będzie miała wartość 5x3.

instagram story viewer

Aby znaleźć transponowaną macierz, uczynimy pierwszy wiersz macierzy M pierwszą kolumną macierzy M^t.

Drugi wiersz macierzy M będzie drugą kolumną transponowanej macierzy:

Wreszcie trzeci wiersz macierzy M stanie się trzecią kolumną macierzy M.^t:

symetryczna macierz

W oparciu o koncepcję macierzy transponowanej można określić, czym jest macierz symetryczna. Matryca nazywana jest symetryczną kiedy jest równy twojej transponowanej macierzy, czyli mając macierz M, M = M^t.

Aby tak się stało, macierz musi być kwadratowa, co oznacza, że aby macierz była symetryczna, liczba wierszy musi być równa liczbie kolumn.

Przykład:

Kiedy analizujemy terminy powyżej głównej przekątnej i terminy poniżej głównej przekątnej macierzy S, można zauważyć, że istnieją terminy, które oni są tacy sami, co sprawia, że jest znana jako symetryczna właśnie ze względu na symetrię macierzy w stosunku do głównej przekątnej.

Jeśli znajdziemy transpozycję macierzy S, można zobaczyć, że S^t jest równy S.

Ponieważ S = S^t, ta macierz jest symetryczna.

Zobacz też: Jak rozwiązywać układy liniowe?

Transponowane właściwości macierzy

1. nieruchomość: transpozycja transponowanej macierzy jest równa samej macierzy:

(M^t)^t = M

2. nieruchomość: transpozycja sumy między macierzami jest równa sumie transpozycji każdej z macierzy:

(M + N)^t = M^t+ N^t

trzecia właściwość: transpozycja mnożenie między dwiema macierzami jest równe pomnożeniu transpozycji każdej z macierzy:

(M · N)^t = M^t · N^t

4. nieruchomość: O wyznacznik macierzy jest równa wyznacznikowi transponowanej macierzy:

det (M) = det (M^t)

5. nieruchomość: transpozycja macierzy razy stała jest równa transpozycji macierzy razy stała:

(kA)^t = kA^t

Odwrotna macierz

Koncepcja macierzy odwrotnej różni się znacznie od koncepcji macierzy transponowanej i ważne jest, aby podkreślić różnicę między nimi. Macierz odwrotna macierzy M to macierz M^-1, gdzie iloczyn między macierzami M i M^-1 jest równa macierzy tożsamości.

Przykład:

Aby dowiedzieć się więcej o tego typu matrycy, przeczytaj nasz tekst: Odwrotna macierz.

przeciwna macierz

Będąc kolejnym przypadkiem specjalnej matrycy, macierzą przeciwną do macierzy M jest macierz -M. Znamy jako przeciwną macierz M = (m_ij) macierz -M = (-m_ij). Macierz przeciwna składa się z przeciwnych wyrazów macierzy M.